A: Richard Muller, Giáo sư Vật lý, tác giả “Physics for Future Presidents”
=========
Ấy là, căn bậc hai của hai không thể biểu diễn dưới dạng tỷ số của hai số nguyên (Trans – để cho tiện, từ giờ mình ký hiệu số đó là S(2) – square root of 2). Điều này đã được những người ủng hộ Pythagoras chứng minh. “Sự thực” này đặc biệt bởi lẽ đó là thứ đầu tiên chẳng bao giờ có thể được khám phá từ thực nghiệm. Sự thực về định lý ấy chỉ nằm trong tâm trí con người mà thôi. Và chứng minh đó đơn giản tới múc học sinh cấp 2 cũng hiểu được.
Đây là trích dẫn từ cuốn sách Now: The Physics of Time của tôi:
——————————
Khoảng năm 600 TCN, những người ủng hộ Pythagoras thấy rằng căn bậc hai của 2 không thể được viết dưới dạng tỷ số của hai số nguyên. Từ đó, họ gọi con số đó là vô tỷ. Chứ không phải hữu tỷ. Điên thật.
Nghe khá giống một thứ toán học kỳ quái nào đó, song thử nghĩ về nó mà xem. Làm thế nào bạn lại có thể chắc chắn rằng mệnh đề này là chính xác cơ chứ? Sau cùng thì, căn bậc hai của 2 không phải là con số dì đó quá kỳ dị, đó là độ dài cạnh huyền một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1. Nếu đo đạc không thôi thì có lẽ không kết luận được rằng con số đó là vô tỷ. Bạn cũng sẽ chẳng bao giờ thử được mọi tỷ số của các số tự nhiên. Giả sử tôi nói với bạn rằng căn bậc hai của 2 bằng 1607521 chia cho 1136689 đi. Không đúng đâu nhé, song rất sát đó. Thử mà xem, lấy máy tính mà chia rồi bình phương kết quả lên. Dùng bảng tính cũng được…
Có một điều nữa đặc biệt hơn về tính vô tỷ của hai, và thi thoảng nó chỉ ra rằng mệnh đề ấy phi thường tới mức nào. Nó chỉ được khám phá một lần trong lịch sử loài người mà thôi. Mọi phát biểu khác liên quan tới mệnh đề này, khi được truy ngược dấu vết, đều đưa người ta tới nhà toán học người Hy Lạp kia.
——Hết trích đoạn—–
Chứng minh nhanh nè: Ta sẽ giả sử rằng S(2) có thể được biểu diễn dưới dạng tỷ số của hai số nguyên, p/q, trong đó p hoặc q là số lẻ. (Nếu cả hai cùng chẵn, ta chia cả tử lẫn mẫu cho 2 tới khi có ít nhất một số lẻ xuất hiện). Và rồi từ đó tìm ra mâu thuẫn. Sau đó, điều giả sử ban đầu sẽ là sai lầm.
S(2) = p/q
p=q*S(2)
Bình phương hai vế lên:
p^2 = 2 q^2
Do p^2 là bội của 2, nên p^2 là số chẵn. Nhưng từ đó p phải là số chẵn, vì bình phương của một số lẻ luôn là số lẻ. (Nếu bạn chưa biết thì, cũng dễ chứng minh thôi. Bất kỳ số lẻ nào cũng có thể viết dưới dạng tổng của một số chẵn với 1. Bình phương lên, bạn sẽ thấy một số lẻ xuất hiện.
Do p chẵn nên, ta viết nó dưới dạng 2m. Giờ thay vào phương trình:
p^2 = 2q^2
(2m)^2 = 2q^2
4m^2 = 2 q^2
2m^2 = q^2
Tức là q^2 là số chẵn, từ đó, q cũng phải chẵn.
Mâu thuẫn rồi. Ta mới nói rằng trong p và q phải có ít nhất một số lẻ, nhưng lại vừa chỉ ra cả hai số đều chẵn. Do đó, giả thiết cho rằng S(2) = p/q là sai.
Nếu bạn tò mò thì, đây là trích đoạn khác trong cuốn sách của tôi Now.
——————————————
Chuyện kể lại, những người Pythagoras rất giận dữ với khám phá nói rằng căn bậc hai của 2 là số vô tỷ. Họ tổng cổ Hippasus, những đã khám phá ra điều đó, ra ngoài khơi. (Phép ẩn dụ thời nay là “tống vào dưới gầm xe bus”.) Chứng minh của Hippasus có thể khá giống với chứng minh tôi vừa đưa ra, nhưng có nhiều chứng minh khác rất hay, có cái dựa trên hình học nữa kia.
Một câu chuyện khác kể lại thì, những người Pytagoras coi việc khám phá ra bản chất của căn bậc hai của 2 thiêng liêng tới mưcs họ coi đó là nền tảng tôn giáo của mình. Trong câu chuyện ấy, họ đưa Hippasus ra ngoài khơi để trừng phạt ông ấy vì đã tiết lộ bí mật vĩ đại đó cho những kẻ ngoại đạo. Nhưng rõ ràng, từ mệnh đề này, những người Pytagoras đã tiết lộ một điều ấy là có những kiến thức khác tồn tại ngoài thế giới vật lý, một sự thực sâu sắc tới mức họ chỉ tiết lộ đối với những người đã thề trên đức tin đối với Pytagoras. Hippasus đã khám phá ra rằng sự thực nằm ngoài những chứng minh vật lý đó thực sự tồn tại.
