5 PHƯƠNG TRÌNH THAY ĐỔI THẾ GIỚI (PHẦN 3)

BIẾN ĐỔI FOURIER – TẠO RA CUỘC CÁCH MẠNG KỸ THUẬT SỐ HIỆN ĐẠI.

Nếu bạn đang nghe một dàn nhạc giao hưởng, bạn có thể phân biệt được âm thanh nào đang được phát ra bởi loại nhạc cụ nào hay không? Nếu bạn có một hình ảnh bị mờ, bạn có thể tạo lại hình ảnh gốc ban đầu không bị mờ hay không? Tất cả những vấn đề này có thể được giải quyết với phương trình này: biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược. Phương trình này không chỉ là cốt lõi của toàn bộ ngành viễn thông, mà còn rất quan trọng trong hầu hết các lĩnh vực như toán học, vật lý, hóa học và kỹ thuật hình ảnh y học. (Hình 1)

Trong biến đổi Fourier, f (t) là hàm của thời gian, F (ω) là hàm của tần số; ω là tần số của sóng và F (ω) đại diện cho biên độ của sóng. Làm thế nào để hiểu phương trình xuất hiện trong tổ hợp này?

Hãy lấy dàn nhạc giao hưởng làm ví dụ. Khi một dàn nhạc chơi một bản nhạc, các nhạc cụ khác nhau sẽ chơi các nốt có tần số khác nhau. Phương trình đầu tiên có thể cho chúng ta biết mỗi nhạc cụ khi diễn tấu thì âm thanh sẽ lớn như thế nào và phương trình thứ hai cho chúng ta biết các nhạc cụ khác nhau được kết hợp như thế nào để tạo ra tất cả các âm thanh chúng ta nghe thấy.

Hơn nữa, khi các nhạc cụ khác nhau chơi cùng một nốt, chúng có âm thanh rất khác nhau. Lý do là mỗi nhạc cụ lúc diễn tấu không chỉ chơi nốt nhạc đó mà còn chơi tất cả các bồi âm (còn gọi là bội âm, hài âm, hoạ âm) của nốt nhạc. Biên độ của các bồi âm này thay đổi từ nhạc cụ này sang nhạc cụ khác, vì vậy chúng cũng có âm thanh rất khác nhau.

Bây giờ, nếu chúng ta mang bản ghi f (t) của một nhạc cụ thế vào phương trình đầu tiên, thì hàm F (ω) có thể cho chúng ta biết biên độ của các bồi âm khác nhau. Nếu chúng ta biết biên độ của các bồi âm khác nhau của một nhạc cụ, chúng ta có thể tái tạo âm thanh của nó. Đây là cách thức hoạt động của đàn synthesizer.

Các bồi âm khác nhau những nhạc cụ như sáo, oboe, violin được tìm ra bởi biến đổi Fourier.

(Hình 3)

Hình trên cho thấy các bồi âm của sáo, oboe và violin, tất cả đều được tính toán tìm ra bằng phép biến đổi Fourier. Từ biểu đồ có thể thấy rằng sáo có ít bồi âm hơn, vì vậy âm sắc tương đối thuần khiết trong trẻo, ngược lại, đàn violin có nhiều bồi âm hơn, nên âm sắc của nó cũng phong phú hơn.

Do đó, biến đổi Fourier là một phương thức biến đổi hàm f (t) thành một hàm F (ω) khác, đối với biến đổi Fourier ngược, nó có thể thay đổi F (ω) trở lại f (t).

***

Ngoài âm thanh, biến đổi Fourier cũng đóng một vai trò rất quan trọng trong xử lý tín hiệu và hình ảnh. Khi chúng ta cố gắng truyền thông tin qua các kênh truyền, thông tin thường bị biến dạng và không chân thực. Ví dụ: khi chúng ta chụp ảnh một vật thể hoặc một đối tượng, bức ảnh sẽ bị mờ.

Giả sử f (t) là tín hiệu truyền qua kênh và g (τ) là hàm gây nhiễu tín hiệu. Loại nhiễu này thật ra là một tính chất của kênh. Sau đó, đầu ra h (t) của kênh có thể được xác định theo phương trình sau: (Hình 4)

Hàm h (t) được gọi là tích chập của f (t) và g (τ), thường được viết là (Hình 5)

Tích chập của một biến đổi tích phân rất khó tính toán trực tiếp và để tính toán trực tiếp đòi hỏi phải mất rất nhiều thời gian. Tuy nhiên, nhờ vào biến đổi Fourier, nó đã cung cấp một biểu thức đơn giản cho phương trình này: (Hình 6)

Kết quả này được gọi là định lý tích chập, đây là một đẳng thức mà cho dù bạn có cường điệu là nó rất quan trọng đối với nền viễn thông hiện đại thì cũng không phải là nói quá. Vì nó cung cấp một phương pháp trực quan và hiệu quả để tính h (t): đầu tiên tìm biến đổi Fourier của f (t) và g (t), nhân chúng, sau đó thông qua biến đổi biến đổi Fourier ngược, bạn có thể nhận được h.

Ngoài ra, nếu đã biết tín hiệu nhận được là h (t) và muốn tìm f (t), trước tiên bạn có thể áp dụng biến đổi Fourier trên h, sau đó chia nó cho biến đổi Fourier của g (t), sau đó áp dụng biến đổi Fourier ngược, chúng ta có thể tìm thấy f (t).

Ví dụ: nếu bạn có một tấm ảnh bị mờ, hàm h (t) biểu thị mức cường độ bị mờ của tấm ảnh và sau đó f (t) là mức cường độ của ảnh không bị mờ ban đầu. Do đó, thông qua quá trình vừa phân tích ở trên, chúng ta có thể khôi phục lại những bức ảnh bị mờ để làm chúng rõ nét hơn.

Tuy nhiên, khi áp dụng vào thực tế, những yếu tố chúng ta cần phải xem xét sẽ nhiều hơn so với phương trình đơn giản này, bởi vì h (t) cũng sẽ bị ảnh hưởng bởi sự nhiễu. Nhưng cho dù vậy, biến đổi Fourier vẫn là phương pháp cốt lõi trong nhiều phương pháp được sử dụng để loại bỏ biến dạng, méo mó tín hiệu. Sự biến đổi nhanh chóng của biến đổi Fourier đã trở thành điều kiện tiên quyết để phát triển các công nghệ hiện đại như chụp cộng hưởng từ hạt nhân và quét CAT. Có thể nói, biến đổi Fourier không chỉ thay đổi ngành viễn thông, mà còn tạo ra một cuộc cách mạng kỹ thuật số hiện đại.

Post Views: 390

Leave a Reply Cancel reply