Các câu trả lời khác quá nặng nề về mặt toán học, do đó tôi sẽ đưa ra một câu trả lời trực quan và dễ hiểu hơn, hạn chế đề cập tới toán học. Về cơ bản, cơ học Newton, Hamilton và Lagrange là những cách giải thích khác nhau nhưng tương đương về các định luật vật lý.
Cơ học Newton biểu diễn mọi thứ thông qua lực và biểu đồ lực. Ví dụ, nếu tôi thả một quả bóng có khối lượng m, thả rơi tự do từ độ cao h thì lực duy nhất tác động lên quả bóng là trọng lực hướng xuống dưới. Do lực F = m.a, quả bóng rơi xuống với gia tốc g = 9.81 m/s^2, tôi có thể tính toán những thứ khác như mất bao lâu để quả bóng chạm đất hay tốc độ chuyển động của quả bóng trước khi chạm đất.
Cơ học Hamilton giải thích mọi thứ thông qua các đại lượng được bảo toàn. Bạn sẽ thấy sự bảo toàn về năng lượng, động lượng và momen động lượng. Nếu tôi thả một quả bóng có khối lượng m từ độ cao h, tôi sẽ nói thế năng ở thời điểm t = 0 là m.g.h. Sự bảo toàn năng lượng (phát sinh từ sự độc lập về thời gian của một hàm gọi là ‘’hàm Hamilton’’) khẳng định cơ năng ( tổng của động năng và thế năng) phải không đổi, tôi tính được gia tốc hướng xuống dưới là 9.81 m/s^2, từ đó tôi có thể tính toán những điều tương tự như tôi đã làm với cơ học Newton.
Cơ học Lagrange cho rằng tự nhiên rất lười biếng và ”Nguyên lý tác dụng tối thiểu Hamilton” là biểu diễn toán học của điều đó. Nếu tôi thả một quả bóng từ độ cao h, quả bóng có thể đi theo vô số con đường. Trong những con đường đó, tự nhiên chọn con đường ít tác động nhất, và trong trường hợp này con đường ít tác động nhất đó hoá ra lại là con đường rơi thẳng xuống với gia tốc 9.81 m/s^2. Con đường tác dụng tối thiểu này được tìm ra bằng cách tìm cực trị của một hàm được gọi là ”hàm Lagrange”, được tính bằng cách lấy động năng trừ đi thế năng.
Ba biểu diễn trên hoàn toàn tương đương nhau và chúng sẽ tính ra kết quả giống nhau (thật đáng lo nếu chúng không ra cùng một kết quả). Nhưng mỗi phương pháp sẽ thuận tiện trong một số vấn đề nhất định.
Cơ học lượng tử khác hoàn toàn với ba loại trên. Cơ học lượng tử là một nhánh khác về thế giới vi mô, trong khi ba phương pháp kia chỉ là cách giải khác nhau nhưng tương đương về thế giới vĩ mô.
