Well, có hai thứ đang xuất hiện ở đây. Sẽ có những “loại” vô cực khác nhau, và tập vô cực này thì lớn hơn tập vô cực khác. Tuy nhiên, số lượng số thực nằm giữa 0 và 1 lại bằng với số lượng số thực nằm giữa 0 và 2.
Bạn có thể chứng minh ý thứ hai bằng cách tạo ra một song ánh – chỉ ra rằng với bất cứ một phần tử nào thuộc nhóm A, sẽ có một và chỉ một phần tử thuộc nhóm B tương ứng. Điều này dễ được chỉ ra hơn với một tập khác, nhưng nó áp dụng được vào trường hợp này.
Giả sử ta đem tập hợp các số chẵn ra so sánh với tập hợp các số chẵn VÀ lẻ. Có vẻ như tập thứ hai sẽ lớn hơn, nhỉ? Nhưng nếu ta lấy mỗi số chẵn chia cho 2, từ 0, 2, 4, 6… ta được 0, 1, 2, 3… Chắc kèo đây sẽ là tập hợp tất cả các số chẵn và lẻ nè.
Điều tương tự cũng được suy ra ở đây. Nếu bạn lấy mọi số thực nằm giữa 0 và 2, rồi đem tất cả bọn chúng chia cho 2, bạn sẽ được mọi số thực nằm giữa 0 và 1.
Cũng có một cách để chỉ ra rằng có những tập vô cực lớn hơn những tập vô cực khác. Điều này hơi khó hình dung hơn một chút, nhưng hãy thử tưởng tượng ra danh sách mọi số thực nằm giữa 0 và 1. Đây là mọi số hữu tỉ, nhưng cũng là mọi số vô tỉ, mọi số siêu việt, và mọi số nằm giữa những số đó, mãi mãi. Không biết bạn có thể liệt kê ra một danh sách như vậy kiểu gì, nhưng giả sử, bạn chỉ cần viết ra ngẫu nhiên vài con số thôi.
Ờ, vì đây là một danh sách cho nên bạn có thể thứ tự chúng: 1, 2, 3, vân vân. Biết đây là một tập vô hạn rồi, nhưng đây cũng là một danh sách các số đếm được mà, đúng không? Giờ vẫn chưa có một vấn đề nào rõ ràng cả, ta có thể dễ dàng nói rằng chúng có cùng kích cỡ.
Tuy nhiên, ta có thể làm gì đó để phá vỡ điều này. Hãy tạo ra một số mới; quy tắc là nó phải khác với số thứ nhất (trong danh sách) ở vị trí thập phân thứ nhất, khác với số thứ hai ở vị trí thập phân thứ hai, v.v. Đây chắc chắn là một con số thực, có nghĩa là nó phải có trong danh sách, nhưng từ đầu thì tất nhiên là nó không có trong danh sách, vì nó khác với mọi số trong danh sách ở ít nhất một vị trí thập phân. Ngay cả khi bạn đã thêm con số mới này vào danh sách, bạn vẫn có thể tạo lại nó lần nữa.
Ta đã chỉ ra rằng, ngay cả khi ta đã dùng tất cả những số đếm được để liệt kê, đúng rồi, tất cả luôn, thì ta vẫn có thể tạo thêm được những con số khác thỏa mãn, nhưng lại khác với tất cả những số đã cho, và cũng không có trong danh sách. Nghĩa là vẫn sẽ có những số còn sót lại sau khi ta đã dùng hết mọi số tự nhiên đếm được. Mặc dù chúng đều là những tập vô cực, nhưng sẽ có nhiều số thực hơn những số đếm được.
Tôi hi vọng điều này dễ hiểu.
>u/Watdabny (188 points)
Tôi không hiểu gì cả, nhưng dù sao cũng đáng đọc đấy.
>>u/eightfoldabyss (60 points)
Thử xem cái video này đi: Vihart đã giải thích và gợi nó ra hay hơn, điều này giúp tôi hiểu hết vấn đề á.
>u/Herm10ne0823 (12 points)
“Điều này hơi khó hình dung hơn một chút”
Hold up, tôi còn không nắm được cái phần dễ luôn.
>u/crazynerd9 (26 points)
Bro, ổng kêu là ELI5, không phải là ELIEinstein đâu.
_____________________
u/pm-me-your-sloths (178 points)
Khái niệm về “kích thước” được dùng cho những tập vô hạn, cơ bản là như thế này: Hai tập hợp sẽ có kích thước bằng nhau nếu bạn có thể ghép được mọi phần tử thuộc tập hợp này với mọi phần tử thuộc tập hợp kia mà không thừa ra cái nào. Bạn có thể làm được điều này với hai tập mà OP đã hỏi, vậy nên chúng sẽ có cùng kích thước. Nhưng bạn không thể làm được điều đó với tập hợp tất cả số nguyên và tập hợp tất cả số thực nằm giữa 0 và 1.
_____________________
u/BobbyP27 (19.6k points)
Tôi nghĩ vấn đề là bạn đang nghĩ “vô hạn” tương đương với “một con số rất lớn”. Đây không phải là một con số cụ thể nào cả, đây là một khái niệm khác. Vấn đề tương tự cũng xảy ra với số 0, nó không phải là “một con số rất nhỏ”, nó là zero. Ví dụ nếu tôi lấy một con số cực nhỏ như 0,0000000001 và nhân đôi lên, tôi sẽ được 0,0000000002. Nếu tôi lấy 0 nhân đôi, tôi vẫn nhận được con sô 0. 2×0 không lớn hơn 1×0. Nếu tôi có một tập vô hạn số nằm giữa 0 và 1, thì chúng phải tách hẳn với số 0. Và khi tôi nhân đôi tất cả bọn chúng lên, thì chúng cũng phải tách hẳn với 2×0, nghĩa là cũng tách hẳn với 0.
