—————————————–
Link quora gốc : https://qr.ae/pNK7Wa
Tôi đã viết cái này từ lâu rồi nhưng tôi hy vọng nó vẫn hữu ích cho bạn và những người khác nữa . Cái đề cập dưới đây không thực sự chặt chẽ nhưng là một cách tiếp cận dễ hiểu về phương pháp này .
Mong là không có sai sót nào , nếu có hãy cho tôi biết nhé .
Đầu tiên phương pháp đường đặc trưng được ứng dụng trong việc nghiên cứu ( và đôi khi là tìm nghiệm ) của phương trình đạo hàm riêng ?
Hãy giả định rằng chúng ta mong muốn giải phương trình vận tải sau đây ( transport equation ) .
u_t(x,t) – u_x(x,t) = 1
Bằng cách đoán mò khó nhằn , ta có thể tìm được nghiệm của phương trình là u(x,t) = (t-x)/2 ( để kiểm tra lại rất đơn giản ) .
Nhưng nếu ta không thể đoán được nghiệm chính xác của phương trình . Giả sử rằng nó có tồn tại , vậy làm thế nào ta có thể tìm ra nó ? Bí quyết chính là ở sự quan sát sau đây : Vế trái của phương trình trên trông giống như là đạo hàm theo tham số của một hàm chưa biết u . Có thể chưa rõ ràng lắm vậy hãy xem tiếp .
Ý tưởng đã được bộc lộ ! Nếu ta chọn x và t sao cho chúng thỏa mãn các phương trình vi phân ( ODES ) thì sao .
dx/ds = -1 và dt/ds =1 (1)
Hai phương trình này từ đâu mà có ? Nếu bạn so sánh phương trình ban đầu :
u_x(x,t).(-1) +u_t(x,t). (1) = 1
và u_x.dx/ds + u_t.dt/ds = du/ds
sẽ thấy được rằng tất cả những gì chúng ta làm từ đầu tới giờ là cố gắng đồng nhất hệ số của u_x và u_t . Đối với những phương trình khác , các hệ số có thể làm một hàm theo biến t hoặc x ( ví dụ như phương trình : u_x – t.u_t = 1 )
Dù sao thì , bằng cách đồng nhất hệ số ta được :
Tới đây là hoàn thành ! Cho dù ban đầu ta có một * PTĐHR ( PDES) với 2 biến thì thông qua phương pháp đường đặc trưng ta tìm được một số đường cong mà trên đó nghiệm sẽ thỏa mãn *PTVP ( ODES) :
mà giải nó rất dễ dàng ! Vì vậy trên những đường cong này : u(x(s) , t(s) ) = s + c
với hằng số c phụ thuộc vào điều kiện ban đầu ( và hiển nhiên không phụ thuộc vào s ) . Nhưng cứ tiếp tục vì ta vẫn còn 2 phương trình vi phân ban đầu :
dx/ds = -1
dt/ds =1
Giải 2 phương trình này ta được : x(s) = -s + c1 , t(s)= s + c2
Hai nghiệm này sẽ xác định đường cong mà hàm u thỏa mãn phương trình vi phân (2) . Chú ý hai hằng số c1 và c2 chúng sẽ phụ thuộc vào điều kiện ban đầu cho trước ( dựa trên hình dạng của đường cong ) . Vì vậy sẽ hữu ích hơn nếu ta thêm một tham số vào x và t để xác định xem chúng ở đâu trên đường cong ban đầu . Đặt tham số đó là m , giờ giả sử điều kiện ban đầu là :
u(m ,m)= u(x(0,m) , t(0,m))= 0 , ta sẽ được :
x(0,m) = c1=m và t(0,m) = c2=m
Chú ý rằng c1 và c2 vẫn có thể phụ thuộc vào m. Chúng là hằng số khi x và t chỉ chứa biến s. Vậy nghiệm của phương trình trên các đường cong này là :
Giải s từ (3) ta được : t – x = 2s => s=(t-s)/2
Chốt lại , điểm cần lưu ý của phương pháp này là gì ? Chính là việc tìm một đường cong tham số ( hoặc một mặt cong trong trường hợp nhiều hơn hai biến ) mà có thể “thu gọn“ phương trình đạo hàm riêng và sẽ tương đương với hình thức của các phương trình vi phân . Như thế ta có thể giải phương trình vi phân thay vì đạo hàm riêng mà vẫn tìm ra được nghiệm .
=================================
*Phương trình đạo hàm riêng – phương trình vi phân riêng phần (Partial Differential Equations – PDES)
*Phương trình vi phân ( Ordinary Differential Equation – ODES)
