Mà thật ra thì, loài người nghĩ ra mấy bài đó kiểu gì được thế?
_____________________
u/FatalExceptionError (199 points)
Một sự thật thú vị nè. Các định lý bất toàn của Gödel căn bản đã chứng minh: trong toán học có những điều đúng nhưng sẽ không bao giờ chứng minh được là nó đúng.
Thật đáng kinh ngạc mà! Không chỉ tồn tại những điều chưa được chứng minh, mà còn tồn tại những điều không thể chứng minh được mặc dù chúng đúng. Nghĩa là, luôn có những lúc ta chẳng bao giờ phân định được cái gì đúng, cái gì sai.
_____________________
u/spacetime9 (9.7k points)
Một điều mà cậu có thể nhận thấy từ thread này: rắc rối thường nảy sinh từ tính vô hạn. Nếu cậu cần ví dụ thì, liệu có tồn tại trong dãy Fibonacci một số chính phương nào khác ngoài 144 (12×12) không? Tui có thể nháp ra một vài số đầu của dãy, hoặc nhờ máy tính tìm hộ 1 tỉ số đầu. Kiểm tra xem một số có chính phương hay không thì dễ ẹc, nhưng rõ ràng để kiểm tra hết TẤT CẢ các số là bất khả thi, bởi vì số lượng của chúng là vô hạn.
Cách duy nhất để giải quyết vấn đề kiểu này là đưa ra một lập luận toán học chặt chẽ – một cách chứng minh. Điều này cần vận dụng đến trí tuệ logic để nhìn ra quy tắc trong một tập vô hạn. Ví dụ đơn giản nhé, liệu có số nguyên tố chẵn nào lớn hơn 2? Chúng ta có thể giả sử tồn tại một số như thế. Bởi nó là số chẵn, nó chia hết cho 2, mà bởi nó chia hết cho 2, nó không phải là số nguyên tố! Vậy là ta đã chứng minh điều vừa rồi cho MỌI số nguyên tố mà không cần phải kiểm tra từng đứa một. Câu hỏi khó hơn đây, liệu có tồn tại số nguyên tố lớn nhất?
Những bài toán kiểu này nảy ra mọi thời điểm trong khoảng thời gian các nhà toán học dạo chơi – khám phá những quy luật, đặt ra câu hỏi, tìm tòi những lý luận chặt chẽ rồi cứ tự nhiên mà dẫn tới những câu hỏi khác thôi. Vài trong số những bài toán chưa có lời giải nổi tiếng vì nếu lời giải được tìm ra, nó sẽ mở khóa ngưỡng cửa dẫn đến manh mối cho nhiều câu hỏi liên quan khác. (Có thể tìm đọc về [“P vs NP”] (https://en.wikipedia.org/wiki/P_versus_NP_problem) trong khoa học máy tính).
_____________________
u/gravityandpizza (527 points)
Những bài toán chưa có lời giải không đơn thuần chỉ gồm một đống phương trình hóc búa cậu có thể giải quyết bằng đại số. Chúng là những nút thắt cần được gỡ rối bằng óc sáng tạo. Giả thuyết Goldbach đặt ra một bài toán nổi tiếng chưa có lời giải: chứng minh rằng mọi số nguyên chẵn lớn hơn 2 là tổng của hai số nguyên tố. Vẫn chưa một ai tìm ra phương pháp chứng minh chính xác trong suốt 250 năm.
_____________________
u/JRandomHacker172342 (2.1k points)
Phỏng đoán Collazt là bài toán chưa được giải tui cực kì thích, vì nó rất dễ hiểu. Chúng ta có một trò chơi như sau:
1) Chọn ra một số tự nhiên bất kì và kiểm tra tính chẵn lẻ của nó.
2) a) Nếu số chẵn, chia nó cho 2.
b) Nếu số lẻ, nhân nó với 3 và cộng thêm 1.
3) Từ số mới, lặp lại quy trình trên.
Ví dụ, nếu số ban đầu của cậu là 10:
10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1…
Bắt đầu từ 10, cậu tạo ra giá trị 1 và rồi kẹt trong vòng lặp giữa 4, 2, 1. Nếu cậu bắt đầu từ 9, quy trình mất 20 bước (ở một bước nào đó giá trị lên tới 52) nhưng cuối cùng vẫn trở về 1. Phỏng đoán đặt ra là:
Luôn đạt được giá trị 1 từ mọi số tự nhiên khi tuân theo quy tắc trên.
Để bác bỏ giả thuyết này, tất cả những gì cậu cần làm là tìm ra một giá trị khởi đầu có thể dẫn tới vòng lặp khác. Loài người đã thử phương pháp này – loài người đã dùng phép thử lên mọi số tự nhiên gồm 20 chữ số, và toàn bộ đều dẫn tới vòng lặp 4, 2, 1. Để chứng minh giả thuyết, cậu cần vận dụng óc sáng tạo để nhìn thấu mối quan hệ giữa những con số tự nhiên.
_____________________
u/mmmmmmBacon12345 (6.6k points)
Giải phương trình toán học và nghĩ ra một bài toán khác nhau nhiều lắm.
Khi gặp phải 2 + X = 7, cậu có thể ngay lập tức tính được X = 5.
Nhưng những bài toán chưa được giải thì khó hơn rấttttt nhiều. Người ta đã vật lộn để chứng minh định lý Fermat lớn suốt hàng thế kỷ. Định lý được phát biểu như sau: “Với mọi số nguyên n > 2, không tồn tại nghiệm nguyên thỏa mãn a^n + b^n = c^n.”
Chắc hẳn cậu đã quen thuộc với trường hợp n = 2 từ định lý Pytago. Nhưng với n > 2 thì sao, cậu sẽ chứng minh như thế nào? Cậu có thể trâu bò thử từng giá trị của n nhưng nhỡ đáp án là n = 51437 thì sao? Cậu sẽ phải thử qua mọi bộ số, mà số lượng của chúng là vô hạn.
Vấn đề là những bài toán kiểu như vầy. Cậu không thể phụ thuộc vào máy tính để duyệt qua mọi con số. Cậu phải dựa trên những tính chất cơ bản, tiên đề và định lý toán học để chứng minh không tồn tại n > 2 thỏa mãn cho mọi bộ a, b, c. Đây là những vấn đề khó nhằn cần tới nhiều người và hàng tấn giấy mực hợp lực giải quyết.
>u/et27U4Y4qse0AlcyFZg8 (2.4k points)
Định lý Fermat lớn là một cái gì đó rất thú vị. Định lý được đặt ra từ năm 1637, nhưng mãi đến tận 1994 Andrew Wiles mới có thể chứng minh được nó, sử dụng một phương pháp mà thời của Fermat chưa được tìm/phát minh ra. Thế quái nào Fermat nghĩ được cái định lý của ổng nhỉ?
>>u/DXPower (1.6k points)
Nhiều người kháo nhau rằng Fermat chỉ đang đùa lúc ổng nói ổng biết cách chứng minh.
>>>u/ExtraTricky (1.2k points)
Tui thấy có cái này được nhiều người tin theo hơn. Fermat tưởng ổng đã tìm được cách chứng minh đúng, rồi sau đó mới phát hiện ra mình nhầm. Khả năng này không phải không thể xảy ra. Có một cách chứng minh cho trường hợp số mũ nhỏ (như n = 3), nó tưởng như có thể áp dụng cho mọi trường hợp khác, nhưng sự thật thì sai hoàn toàn.
>u/mhks (190 points)
Không phải ý gì đâu nhưng tui tò mò điều này có ý nghĩa gì thế? Mấy bài toán này có đơn thuần chỉ là thí nghiệm tưởng tượng của các nhà toán học không? Ví dụ cậu đưa ra (và cả những người khác nữa), dường như những bài đó dành cho các nhà toán học nghiên cứu hơn là mang giá trị thực tiễn. Không phải tui có ý xét nét đâu, chỉ muốn chắc chắn là tui hiểu đúng.
>>u/DXPower (1.1k points)
Thế giới hiện đại chúng ta đang sống được gây dựng nên từ việc tìm ra lời giải cho những vấn đề trừu tượng từ hàng thế kỉ trước.
Biến đổi Fourier giúp chúng ta xác định miền tần số và miền thời gian. 300 năm sau, điều này bất ngờ dẫn tới loạt phát minh âm thanh kĩ thuật số, đường truyền ăng ten, lỗi kết nối, sàng lọc, cơ học lượng tử, và nhiều đóng góp khác.
Những phát hiện của Galois trong nhiều lĩnh vực kết hợp và lý thuyết nhóm tạo tiền đề cho mật mã học và hệ thống xác thực ngày nay, đồng thời mở ra những sự thật quan trọng về hình học và đại số (một vài phương trình chưa có lời giải, và một vài hình khối chưa thể được dựng nên).
Phương trình xử lý máy móc của Turing đặt nền tảng cho khoa học máy tính từ 90 năm trước, và được phát triển dựa trên những nguyên lý của Church, Babbage và Lovelace. Về cơ bản, họ là những người thiết kế những chiếc máy tính đầu tiên, viết những phần mềm đầu tiên trên giấy tờ và lý thuyết.
Những thành tựu của Lorentz về phép biến đổi trong không gian mở đường cho vật lý hiện đại dựa trên thuyết tương đối rộng và hẹp của Einstein, và những đột phá mới từ phương trình Maxwell về điện từ học.
Newton và Leibniz đề ra vi tích phân qua nghiên cứu về sự thay đổi của biến số theo thời gian. Vi tích phân lại đặt nên nền móng cho kĩ thuật, vật lý, kinh tế, sinh học,… nói chung là mọi lĩnh vực.
Những cống hiến của Euler dành cho nhân loại thì lớn lao quá đỗi, thật khó để biết nên bắt đầu từ đâu. Những phát kiến của ông tạo nên cốt lõi cơ sở cho mọi mầm nhánh của toán học, khoa học và kĩ thuật ngày nay.
Mà danh sách vẫn này còn ngắn lắm. Tui hoàn toàn chưa tìm hiểu gì về lịch sử và ứng dụng của trừu tượng toán học đâu. Đây đều là những kiến thức tui học được từ khi trở thành một kĩ sư máy tính. Ai có ví dụ nào thú vị hãy chia sẻ cùng tui nhé.
