Bạn có thể giải thích cách chứng minh Định lý Cuối cùng của Fermat, như thể tôi mới 5 tuổi được không?
(T/N: “Định lý Cuối cùng của Fermat (hay còn gọi là Định lý Lớn Fermat) là một trong những định lý nổi tiếng trong lịch sử toán học, được ghi danh trong sách kỷ lục Guinness là “vấn đề toán học hóc búa nhất”. Định lý này phát biểu như sau: Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn x^n + y^n = z^n, trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.” – Wikipedia)
_______________
A: Senia Sheydvasser, Tiến sĩ Toán học
_______________
Tôi thực sự không thể giải thích cách chứng minh định lý này, chủ yếu là bởi tôi không biết bài chứng minh đầy đủ của nó (và thực ra tôi cũng không nghĩ có ai đó đang hoạt động trên Quora có thể biết đâu). Thành thật mà nói, có lẽ tôi sẽ chẳng bao giờ biết được bài chứng minh đầy đủ của bài toán này cả (Không phải là tôi không thể — khá là chắc kèo nếu bỏ ra một vài năm nỗ lực nghiên cứu, tôi sẽ có thể nắm được những điều kiện tiên quyết của bài toán, và sống chết để hoàn thành cách chứng minh). Tuy nhiên, tôi đã có những kiến thức cơ bản về những thành phần trong bài chứng minh, và giờ tôi sẽ cố giải thích chúng cho bạn.
Một cái note khác: tôi không thể hoàn thành nó kiểu ELI5, vì tôi cũng không chắc mình sẽ nói được Định lý Cuối cùng của Fermat là gì với một đứa nhóc 5 tuổi. Cho nên tôi sẽ giải thích nó kiểu ELI15 cho dễ quản lý.
Điều đầu tiên tôi sẽ lưu ý là, về mặt chuyên môn, bất chấp những gì các báo cáo tin tức nói, Andrew Wiles đã không chứng minh Định lý Cuối cùng của Fermat. Ông đã chứng minh một kết quả khác, cụ thể là Giả thuyết Taniyama-Shimura (hay chính xác hơn là một trường hợp đặc biệt của giả thuyết này, nhưng tôi sẽ bỏ qua chi tiết đó trong câu trả lời của mình). Tuy nhiên, vào thời điểm đó, giả thuyết Taniyama-Shimura đã suy ra cách chứng minh định lý này.
(T/N: “Phương trình Pytago, x^2 + y^2 = z^2, có vô số các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn; các nghiệm này được gọi là bộ ba Pytago. Vào khoảng năm 1637, Fermat đã viết trong một quyển sách rằng phương trình tổng quát hơn là a^n + b^n = c^n, không có nghiệm nào là số nguyên dương, nếu n là số nguyên lớn hơn 2. Mặc dù tuyên bố có cách chứng minh chung về giả thuyết của mình, Fermat đã không để lại chi tiết về chứng minh của mình, và không có bất kỳ chứng minh nào của ông đã từng được tìm thấy. Khẳng định của ông đã được phát hiện khoảng 30 năm sau cái chết của ông. Tuyên bố này, được gọi là Định lý Cuối cùng của Fermat, đã tồn tại trong toán gần 3,5 thế kỷ. Tuyên bố của Fermat cuối cùng đã trở thành một trong những vấn đề nổi bật nhất chưa được giải quyết của toán học. Những nỗ lực để chứng minh nó đã thúc đẩy sự phát triển đáng kể trong lý thuyết số, và theo thời gian Định lý cuối cùng của Fermat đã nổi bật như là một vấn đề chưa được giải quyết trong toán học. Nhà toán học người Anh Andrew Wiles công bố lời giải vào mùa hè năm 1993 và bản chỉnh sửa cuối cùng vào năm 1995, với lời giải dài 200 trang.” – Wikipedia)
Sự thật này đã không được chứng minh bởi Wiles, mà là Ken Ribet, vào năm 1986. Được biết, Wiles đã biết về kết quả của Ribet, và có động lực để chứng minh giả thuyết Taniyama-Shimura.
Giờ thì, để cố gắng giải thích giả thuyết Taniyama-Shimura là gì và tất cả những gì nó liên quan với các đường cong elliptic, trước tiên tôi sẽ phải nói về các đường cong elliptic cái đã.
Bạn có thể nghĩ về một đường cong elliptic như được mô tả bởi phương trình y^2 = x^3 + ax + b, trong đó a và b là các số hữu tỷ (tôi sẽ giấu đi những chi tiết về mặt chuyên môn, chúng không quá quan trọng). Tôi cũng đã bao gồm một vài ví dụ ở đây (cụ thể hơn, trường hợp a=b=0 không nên được liệt kê ở đây, bởi nó có một đỉnh nhọn, nhưng một lần nữa, lại là những chi tiết về chuyên môn):
📸
Những đường cong elliptic rất thú vị vì một số lý do. Các nhà toán học thường quan tâm đến vấn đề xác định đường cong và sau đó nghiên cứu các điểm trên đường cong đó có hữu tỉ hay không. Đối với các đường cong tùy ý, đây là một vấn đề cực kỳ khó khăn; thật vậy, bạn có thể viết ra các đường cong, trong đó việc xác định các điểm hữu tỉ là một vấn đề không thể giải quyết được.
Các đường cong elliptic đúng với những “điểm ngọt ngào” (sweet spot) – chúng chỉ hơi phức tạp, đủ để chúng ta có thể xác định các điểm hữu tỉ, nhưng đây là một vấn đề khó khăn. Đây là một điều thú vị, nên chúng ta muốn cải thiện các công cụ toán học để vấn đề này trở nên dễ dàng hơn.
Các đường cong elliptic cũng có các kết nối đáng ngạc nhiên với các lĩnh vực toán học khác. Có lẽ thực tế nhất là kết nối với ngành mật mã, nhưng cũng có những lĩnh vực khác nữa.
Một trong những kết nối rất quan trọng này là kết nối với các dạng modular.
Một dạng modular là gì? Đưa ra một định nghĩa trực quan khá khó khăn – tôi xin nói rằng đây là một loại hàm đặc biệt thỏa mãn một số quan hệ đối xứng rất đặc biệt được các nhà lý thuyết số quan tâm nhất.
Một trong những lợi ích của các dạng modular là chúng bị ràng buộc cao, một thực tế thường được khai thác để chứng minh một số kết quả đáng chú ý.
Vì vậy, thật đáng ngạc nhiên khi vào những năm 1950, người ta đã nghĩ ra ý tưởng rằng tất cả các đường cong elliptic thực ra đã phát sinh từ các dạng modular – điều này được gọi là giả thuyết Taniyama-Shimura. Có một cách rõ ràng mà bạn có thể kết nối cả hai. Tôi sẽ không thảo luận về nó ở đây, nhưng hy vọng nó sẽ đủ để biết rằng có những kết nối ở đó.
Bây giờ, hãy nhanh chóng chuyển sang năm 1982. Gerhard Frey, người đang làm việc cho Yves Hellegouarch, nhận thấy rằng có một mối liên hệ giữa Taniyama-Shimura, các đường cong elliptic và Định lý Cuối cùng của Fermat.
Đặc biệt, lưu ý nếu a^p + b^p = c^p là một phản ví dụ cho Định lý Cuối cùng của Fermat, thì y^2 = x(x – a^p) (x + b^p) sẽ là một đường cong elliptic, cùng với một số tính chất kỳ lạ, bất thường.
Thật vậy, như đã được Ribet chứng minh một cách nghiêm ngặt, không có đường cong elliptic nào phát sinh từ dạng modular có thể có các tính chất mà đường cong giả thuyết này có.
Vì vậy, hướng đi rất rõ ràng: nếu bạn chứng minh Taniyama-Shimura, thì bạn sẽ cho thấy rằng tất cả các đường cong elliptic đều thỏa mãn các tính chất đẹp, do đó sẽ không thể có một đường cong elliptic như y^2 = x(x − a^p) (x + b^p), và do đó sẽ không có phản ví dụ cho Định lý Cuối cùng của Fermat.
Đây chính là nơi mà công việc của Wiles bắt đầu. Rõ ràng, ông đã rất đam mê Định lý Cuối cùng của Fermat từ nhỏ, và đột nhiên nhận ra rằng ông có thể có đủ chuyên môn để thấy điều đó thúc đẩy ông hành động.
Tôi sẽ không cố gắng giải thích bài chứng minh của Wiles, bởi điều đó vượt xa khả năng hiện tai của tôi. Điều đó đã làm ông mất sáu năm, để rồi bài chứng minh ban đầu đã bị sai, và ông đã buộc phải cố gắng lại lần nữa với sự giúp đỡ của một trong những người học sinh của mình, với bài chứng minh cuối cùng dài tới tận hơn một trăm trang. Đó là kiểu kết quả như vậy đấy.
_______________
https://qr.ae/pNynod
Các kiến thức chuyên môn ở nửa sau mình chưa nắm được, nên trình bày chắc chắc rất khó hiểu. Rất mong sẽ có các anh/chị hiểu biết về những vấn đề như thế này vào đây để đóng góp ý kiến cho mình, mọi gạch đá mình xin nhận ạ.
