Tác giả Alec Wilkinson
Người ta thường mô tả Toán học như một thực tế lý tưởng và đáng tin, một màn chơi của ngôn ngữ hình thức, và thơ ca của những ý tưởng logic.
Cách đây một dạo, tôi bỗng quan tâm đến toán học, chủ yếu là vì tôi từng học rất kém hồi còn cắp sách đến trường. Chà thực ra nói thế thì ngại quá. Không phải kém, mà là bết bát mới đúng. Tôi đã phải gian lận mới qua được môn. Dù sao thì, tôi đã mua một cuốn sách tên “Algebra for Dummies” để xem liệu tôi có thể cải thiện chút nào hay không, nhưng hóa ra lúc làm người lớn tôi cũng chẳng thích đại số hơn gì nhiều so với thời học sinh. Mặc dù vậy, tôi vẫn quyết tâm thử xem liệu tôi có thể hiểu tại sao mình không thể học môn này. Phải nói, làm mấy bài toán dành-cho-độ-tuổi-teen với tư cách là một người trưởng thành khó hơn tôi tưởng, và tôi không chắc mình có thể tiếp tục được bao lâu nếu tôi không nhận thức được, chủ yếu là từ việc đọc sách về toán học và nói chuyện với các nhà toán học, rằng bên ngoài chướng ngại vật dành cho tân thủ ở Làng Đại số, đường biên bản đồ toán học có một sự vĩ đại và tầm với mà tôi thậm chí còn không thể nghĩ tới. Sau đó, tôi dành nhiều thời gian hơn để cố gắng tiếp thu những gì có thể về những điểm tốt đẹp của toán học.
Các nhà toán học biết toán học là gì, nhưng để diễn tả thành lời thì vô cùng khó. Tôi đã từng nghe những lời miêu tả như: Toán học là kỹ thuật thủ công tạo ra kiến thức mới từ những kiến thức cũ, sử dụng các diễn dịch logic và trừu tượng. Lý thuyết về các mẫu hình thức. Toán học là môn học về số lượng. Một môn học bao gồm các số tự nhiên và hình học không gian-hình học phẳng. Một môn khoa học rút ra các kết luận có thể được rút ra. Là sự logic được diễn đạt bằng những biểu tượng. Là sự nghiên cứu các cấu trúc. Là nguyên liệu để chúng ta vẽ lại kết cấu không thể đong đếm bằng thời gian của vũ trụ. Là chất thơ của những ý tưởng logic. Là các mệnh đề được liên kết với nhau bởi các quy tắc diễn dịch cực kỳ chặt chẽ. Là một phương tiện để tìm kiếm một lối suy luận diễn dịch từ một tập hợp các tiên đề để suy ra hoặc phủ nhận một tập hợp các mệnh đề. Một ngành khoa học liên quan đến những thứ bạn không thể nhìn thấy, mà sự hiện diện của nó chỉ giới hạn trong trí tưởng tượng. Một dạng văn-bản-nguồn mà ta chỉ có thể chấp nhập sự tồn tại của nó như một sự hiển nhiên. Một hệ thống khái niệm chuẩn xác. Ngành nghiên cứu những ý tưởng mà ta coi chúng như hữu hình để giải quyết. Quá trình thao tác các ký hiệu vô nghĩa của ngôn ngữ logic bậc nhất theo các quy tắc rõ ràng và có trật tự. Một lĩnh vực nghiên cứu tính chất và sự tương tác của các đối tượng được đã lý tưởng hóa. Môn khoa học của các hoạt động đặc trưng với các khái niệm và quy tắc được tạo ra cho một mục đích nhất định. Là những phỏng đoán, những câu hỏi, những suy đoán trí tuệ và lập luận dựa trên kinh nghiệm về những gì có thể đúng. Là sợi dây suy tư liền mạch dài nhất lịch sử loài người. Là một trực giác được xây dựng nghiêm túc. Là điều mà các ý tưởng khoa học, khi chúng phát triển theo hướng hoàn thiện, sẽ trở thành. Là một thực tế lý tưởng. Một câu chuyện đã đang được viết hàng ngàn năm, luôn được thêm vào, và có thể không bao giờ kết thúc. Là tạo tác mạch lạc lớn nhất được xây dựng bởi nền văn minh. Một màn chơi của ngôn ngữ hình thức.
Các nhà toán học là nhạc sĩ của những con số.
Bertrand Russell nói rằng toán học, về bản chất là một môn nghệ thuật khám phá, là “chủ đề mà chúng ta không bao giờ biết mình đang nói về gì, cũng như liệu những gì chúng ta đang nói có đúng không”. Darwin đã thử học toán với một gia sư khi mười chín tuổi và ông ghét nó, chủ yếu là do “không thể nhìn thấy bất kỳ ý nghĩa nào ở giai đoạn đầu của môn đại số”. Ông được cho là đã kết luận rằng “một nhà toán học là một người mù trong căn phòng tối cố tìm một con mèo đen không có ở đó.” Trong “Cuộc phiêu lưu của Alice ở xứ sở thần tiên”, Lewis Carroll đã để nhân vật Mock Turtle nói rằng bốn phép toán số học (cộng trừ nhân chia) chính là sự tham vọng, sự lơ đãng, sự tha hóa và sự chế nhạo. Một sự thật phức tạp là toán học, đặc biệt là ở các bậc cao, rất khó hiểu. Bắt đầu có thể từ một phát biểu đơn giản ai cũng hiểu, rồi trở nên chuyên biệt hóa thành các phương ngữ phức tạp đến mức một vài trong số chúng được sử dụng chỉ bởi vài trăm người trên thế giới. Một số mảng khác thậm chí vẫn chưa được khám phá.
Không có thánh kinh nào cũ bằng toán học. Tất cả các ngành khoa học khác đều trẻ hơn, hầu hết là hàng nghìn năm. Với nhân loại, toán học còn là bản ghi có tính lịch sử đáng tin hơn cả lịch sử. Lịch sử có thể được sửa đổi hoặc thao túng hoặc bị xóa hoặc bị mất. Toán học là vĩnh viễn. A² + B² = C² là chân lý trước cả khi Pythagoras gắn tên ông vào nó, và sẽ đúng cho đến khi mặt trời nguội lạnh và chẳng còn loài người để nghĩ về nó nữa. Nó đúng với bất kỳ một nền văn minh ngoài hành tinh nào có thể nghĩ ra nó, và đúng cho dù họ có nghĩ ra được hay không. Nó là không thể bị thay đổi. Miễn là có một thế giới với trục ngang và trục dọc, đường ngang và đường dọc, nó là bất khả xâm phạm và chân thực nhất trong số bất cứ điều gì có thể nghĩ đến.
Các nhà toán học sống trong một thế giới về cơ bản là xoay quanh sự chắc chắn. Chúng ta, những người còn lại, thậm chí cả các nhà khoa học khác, sống trong thế giới mà sự chắc chắn được định nghĩa là cho-đến-hiện-tại-thì-nó-là-đúng-trong-gần-như-mọi-trường-hợp. Bởi toán học nhấn mạnh vào chứng minh, nó có thể cho chúng ta biết, trong phạm vi những gì nó biết, điều gì sẽ đúng mãi mãi.
Dù chính xác là thế, toán học cũng là ngôn ngữ rõ ràng nhất mà chúng ta có để mô tả những bí ẩn. Là ngôn ngữ của vật lý, nó mô tả những bí ẩn thực tế – những thứ chúng ta không thể nhìn thấy rõ ràng trong thế giới tự nhiên nhưng ta nghi ngờ là có thật và sau đó xác nhận chúng – và những bí ẩn tưởng tượng, những thứ chỉ tồn tại trong tâm trí của các nhà toán học. Một câu hỏi đặt ra là những bí ẩn trừu tượng này tồn tại ở đâu, phạm vi địa hạt của chúng kéo dài đến đâu. Một số người sẽ nói rằng chúng nằm trong tâm trí con người, rằng chỉ có trí óc con người mới có khả năng hình dung những gì được gọi là đối tượng toán học, nghĩa là các con số, phương trình và công thức, v.v. – tức toàn bộ bảng chú giải và hệ thống toán học – và ban cho chúng sự tồn tại, và rằng những thứ như vậy xuất hiện theo cách như vậy là do cấu trúc tâm trí của chúng ta. Chúng chỉ cho ta cách đánh giá thế giới theo cách phù hợp với các công cụ kiểm tra mà chúng ta có. (Ví dụ, chúng ta nhìn thấy màu sắc như cách chúng ta đang thấy là bởi bộ não của ta được cấu tạo theo cách để tiếp nhận sự phản chiếu của ánh sáng từ các bề mặt). Đây là một quan điểm thiểu số, chủ yếu được các nhà khoa học thần kinh và một số nhà toán học không thích suy đoán ủng hộ. Quan điểm rộng rãi hơn là không ai biết toán học hiện hữu ở đâu. Không có nhà toán học / nhà tự nhiên học nào có thể chỉ vào đâu đó và nói, “Đó là nơi toán học đến từ” hoặc “Toán học tồn tại ở đó”.
Niềm tin rằng toán học tồn tại ở một nơi khác chứ không phải bên trong chúng ta, rằng nó được khám phá nhiều hơn là được tạo ra, được gọi là thuyết Platon, theo niềm tin của Plato vào một lĩnh vực phi không gian, đó là vùng của những dạng hoàn hảo mà các vật thể trên trái đất là sự tái tạo không hoàn hảo của chúng. Theo định nghĩa, vùng phi không gian nằm ngoài thời gian và không gian. Nó không phải do bất kỳ vị thần nào sáng tạo ra; nó chỉ đơn giản là nó. Để nói rằng nó vĩnh cửu hay nó đã và sẽ luôn tồn tại là một nhận xét mang tính thời gian, điều mà không thể áp dụng với không gian này. Nó là cõi hư không vượt thời gian, chưa bao giờ và sẽ không bao giờ tồn tại ở bất cứ đâu, nhưng vẫn luôn là chính nó. Thế giới vật chất mang tính thời gian và suy tàn; thế giới phi không gian thì luôn toàn vẹn và không thế.
Một quan điểm thứ ba, về mặt lịch sử và hiện tại, với một số ít (nhưng không phải là quá ít) các nhà toán học, đó là nơi trú ngụ của toán học nằm trong tâm trí của một sinh vật cao hơn và các nhà toán học bằng cách nào đó đang tương tác vào suy nghĩ của họ. Georg Cantor, người sáng tạo ra lý thuyết tập hợp — lý thuyết mà thời thơ ấu tôi được dạy rằng nó giống như một phần của “toán học mới” — đã nói, “Sự hoàn hảo cao nhất của Đức Chúa Trời nằm ở khả năng tạo ra một tập hợp vô hạn, và sự tốt lành bao la của tập hợp vô hạn này là động lực để Ngài tạo ra nó.” Và nhà toán học tự học và có nhiều phát kiến siêu cấp, Srinivasa Ramanujan, người mà bộ phim “The Man Who Knew Infinity” năm 2015 đã dựa trên, nói, “Một phương trình đối với tôi không có ý nghĩa gì trừ khi nó thể hiện ý nghĩ của Chúa”.
Trong Cuốn số 7 của Cộng hòa, Plato viết Socrates nói rằng các nhà toán học là những kẻ nằm mơ rằng mình đang thức. Về câu nói này, tôi hiểu, mà cũng không hiểu.
