Bạn định so sánh 10 + 5i với 5 + 10i như thế nào?
• Số đầu có phần thực lớn hơn
• Số sau có phần ảo lớn hơn
• Chúng có cùng giá trị tuyệt đối [T/N: Đây phải là module của hai số]
Thông thường, khi so sánh số phức, mọi người thường nghĩ đến phương án cuối cùng (thứ Wolfram đưa ra ở cuối), nhưng vì không rõ ràng, tốt hơn là cần chỉ rõ.
Hơn nữa, dù có chọn cách nào đi chăng nữa, không cách nào (hay bất cứ cách sắp xếp nào khác) thoả mãn điều kiện của trường được sắp. [https://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_field]
>u/FroggyWatcher (6 points)
Không phải ai cũng hiểu lý thuyết thứ tự, nhưng cụ thể thứ gì khiến trường số phức có thể được sắp tương tự như ℝ²?
>>u/alecbz (9 points)
Tôi nghĩ bất cứ định nghĩa nào sắp toàn phần tập ℝ² ở đây [https://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_vector_space….] đều không thoả mãn hai điều kiện của một trường được sắp:
• a < b → a + c < b + c
• a, b > 0 → ab > 0
Tôi không chắc lắm cách chứng minh trong trường hợp tổng quát. Trường được sắp trên Wiki nói rằng trong một trường được sắp, a² ≥ 0 luôn đúng với mọi a (dễ chứng minh được), nhưng i² = -1, nên trừ khi – 1 được coi là > 0, nó mới thoả mãn. Tôi không chắc nếu – 1 < 0 phải đúng trong trường được sắp (kiểu như – 1 < 0 nếu bạn sắp xếp theo phép lấy trị tuyệt đối), nhưng nó chắc cũng sẽ phạm một trong hai điều kiện nói trên.
>>>u/coolpapa2282 (4 points)
Vì 1² = 1, nên 1 > 0. Nhưng vì x + -x = 0, không tồn tại số nào mà số đó cùng với số đối có cùng dấu trong một trường được sắp.
>>>>u/alecbz (2 points)
À rồi đã hiểu. Cho ai không hiểu vế sau mà chưa lướt qua, nếu x > 0, thì x + -x > 0 + -x, 0 > -x.
_____________________
u/past-the-present (17 points)
Wolfram Alpha cho bạn lý do rồi đấy: [tập] các số phức không thể được sắp toàn phần.
Thế có nghĩa là gì? Ừm, có một số tính chất chúng ta muốn có một cách tự nhiên cho các bất phương trình. Nếu ta muốn sắp xếp các số thực bằng một quan hệ thứ tự nào đó, thứ ta cần là:
1. Nếu z ≤ w và w ≤ z thì w = z [T/N: Tính phản đối xứng]
2. Nếu z ≤ w và w ≤ x thì z ≤ x [T/N: Tính bắc cầu]
3. Hoặc z ≤ w hoặc w ≤ z (hoặc cả hai đều được) [T/N: Tức giữa hai số bất kì luôn phải tồn tại quan hệ ≤. Có những quan hệ không có tính chất này. Quan hệ cha – con là một trong số đó: giữa hai người bất kì không nhất thiết phải có quan hệ cha – con]
Những điều kiện này nghe có vẻ hơi mơ hồ, nhưng đó là những thứ ta muốn cho một quan hệ thứ tự. Bạn có thể tự kiểm chứng phép so sánh ≤ trong tập số thực ℝ.
Wolfram muốn nói rằng bạn không có quan hệ thứ tự nào thoả mãn ba tính chất trên trong tập số phức ℂ được, ít nhất là giữ lại được cấu trúc nguyên thuỷ trên tập ℂ. Hãy thử một ví dụ để xem ta được gì nhé:
Giả sử z ≤ w nếu |z| ≤ |w| (ở đây ta dùng phép so sánh trong ℝ, vì |z| và |w| đều là số thực). Nhưng sẽ không thoả mãn tính chất (1), vì theo cách định nghĩa này, i ≤ 1 và 1 ≤ i nhưng i ≠ 1.
Nếu bạn thử với những thứ bạn nghĩ ra ấy, thì sẽ thấy rằng tất cả đều không thoả mãn, nên ta có thể nói rằng ℂ không thể sắp toàn phần, vậy nên ta không thể so sánh các số phức.
_____________________
Bài viết ở định dạng bán hàng thì cho mình xin lỗi vì mình không tắt nổi :<
Bài dịch năm trong series #Tết2021CùngJun xuyên suốt Tết để một mùa Tết đỡ buồn chán hơn, dự kiến lên bài mỗi tối từ 23 Tết đến hết mùng 5. Chủ đề chính của các bài viết là kiến thức khoa học.
Mong mọi người sẽ ủng hộ chuỗi bài đăng này.
_____________________
Dịch bởi Junn
