Liệu có thể nào, trong thiên niên kỷ này, phương pháp toán học không còn là nền móng cơ bản cho triết học?
Jeremy Avigad
24 tháng 9 năm 2018,
*Bài dịch có nhiều từ chuyên ngành khó nên chắc chắn sẽ có nhiều chỗ được dịch chưa chính xác. Mong nhận được góp ý của mọi người.
**À, bài dài.
Khi René Descartes 31 tuổi, vào năm 1627, ông bắt đầu viết bản tuyên ngôn về các phương pháp triết học đúng đắn. Ông đã chọn tiêu đề Regulae ad Directionem Ingenii, tức Rules for the Direction of the Mind (tạm dịch: Quy tắc cho Hướng đi của Tâm trí). Đó là một tác phẩm gây tò mò. Ban đầu, Descartes dự định viết 36 quy tắc chia đều thành ba phần, nhưng bản thảo bị bỏ lửng từ giữa phần thứ hai. Mỗi quy tắc được trình bày trong một hoặc hai câu, kèm theo phần giải thích dài phía sau. Quy tắc đầu tiên viết ‘Mục tiêu cuối cùng của việc nghiên cứu phải hướng tâm trí đến sự rõ ràng, chính xác, và sự đánh giá đúng đắn về tất cả các vấn đề gặp phải trong quá trình nghiên cứu’, và quy tắc thứ ba cho chúng ta biết rằng ‘Các câu hỏi phải được điều hướng, không phải đến những gì người khác đã nghĩ… mà đến những gì chúng ta có thể nhìn thấy một cách rõ ràng và có quan điểm, với sự suy luận chắc chắn.” Quy tắc bốn cho rằng “Cần có một phương pháp để tìm ra sự thật.”
Nhưng ngay sau đó bản thảo có một bước ngoặt toán học bất ngờ. Sơ đồ và tính toán bắt đầu len lỏi vào. Quy tắc 19 cho chúng ta biết rằng việc áp dụng phương pháp triết học một cách thích hợp đòi hỏi chúng ta phải ‘tìm ra càng nhiều khoảng tuyệt đối (magnitudes) mà ta chưa biết, vừa coi như chúng đã được biết’. Điều này sẽ “cho chúng ta một số lượng phương trình nhiều như số lượng các ẩn số”. Quy tắc 20 cho chúng ta biết rằng, “sau khi có được phương trình, chúng ta phải tiến hành thực hiện các phép toán mà chúng ta đã bỏ qua, cẩn thận để không bao giờ nhân ở chỗ cần chia”. Việc đọc bộ Quy tắc giống như ngồi thả hồn vào một tác phẩm dẫn nhập triết học, để rồi, một tiếng sau, nhận thấy mình đang lang thang giữa một cuốn sách giáo khoa đại số.
Bước ngoặt xảy ra ở đoạn quy luật 14. Theo Descartes, triết học là vấn đề khám phá những chân lý chung bằng cách tìm ra những thuộc tính được chia sẻ bởi các đối tượng khác nhau, nhằm hiểu được những đặc điểm chung của chúng. Điều này đòi hỏi phải so sánh mức độ mà tại đó các thuộc tính xảy ra. Một thuộc tính trong phạm vi một mức độ nào đó, theo định nghĩa, là một giá trị tuyệt đối. Và, từ thời Hy Lạp cổ đại, toán học được hiểu, không hơn không kém, là khoa học về giá trị tuyệt đối. (Nó được dùng cho bao gồm cả việc nghiên cứu các biến rời rạc trị tuyệt đối (discrete magnitudes), tức là những thứ có thể đếm được, cũng như nghiên cứu về các biến liên tục trị tuyệt đối (continuous magnitudes), những thứ có thể được biểu thị dưới dạng độ dài.) Vì vậy, triết học là nghiên cứu về những thứ mà có thể được biểu diễn bằng các thuật ngữ toán học, và phương pháp triết học hầu như không khác gì với phương pháp toán học.
Mối quan hệ giữa triết học và toán học cũng có thể được tìm thấy trong thời cổ đại, ví dụ như trong lý thuyết Pythagorean ghi rằng “mọi thứ đều là số”. Khám phá của lý thuyết Pythagorean rằng căn bậc hai của 2 là không hợp lý đã báo trước sự ra đời của triết học phương Tây bằng cách khám phá ra giới hạn cơ bản trong cách tiếp cận để lượng hóa trải nghiệm của chúng ta, và mở ra cánh cửa cho một khái niệm phong phú hơn về đo lường và số lượng. Bản chất của continuum – các biến liên tục trị tuyệt đối được sử dụng để mô hình hóa thời gian và không gian – đã là nguồn tương tác hiệu quả giữa các nhà triết học và toán học kể từ đó. Plato rất coi trọng toán học, và lập luận rằng, trong một nhà nước lý tưởng, tất cả công dân, từ những người bảo vệ đến các vị vua triết học, sẽ được đào tạo về số học và hình học. Trong The Republic, ông ghi Socrates đã khẳng định rằng toán học “có tác dụng rất lớn và nâng cao”, và những điều trừu tượng của nó “thu hút tâm trí về phía chân lý, và tạo ra tinh thần triết học”.
Galileo, một người cùng thời với Descartes, cũng làm mờ đi sự khác biệt giữa phương pháp toán học và phương pháp triết học. Một đoạn trích từ bài luận của ông, ‘Il Saggiatore’ (1623), hay The Assayer (tạm dịch: Người khảo nghiệm), thường được trích dẫn để thúc đẩy một cuộc cách mạng toán học vật lý:
Triết học được viết trong cuốn đại thư này – ý tôi là Vũ trụ – luôn mở ra trước mắt chúng ta, nhưng nó là bất khả tiếp thu trừ khi ta đã học cách hiểu ngôn ngữ và diễn giải được các ký tự của nó. Nó được viết bằng ngôn ngữ toán học, và các ký tự của nó là những hình tam giác, hình tròn và các hình hình học khác, nếu không có những ký tự này thì con người không thể hiểu được dù chỉ một chút nội dung của cuốn sách đó; nếu không có những thứ này, người ta sẽ lang thang trong một mê cung tăm tối.
Phần trích dẫn này chỉ ra triết học được viết bằng ngôn ngữ của toán học. Không phải ngẫu nhiên về mặt ngôn ngữ mà phát kiến vĩ đại của Isaac Newton về giải tích và vật lý hiện đại được đặt tên là Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687), tức Mathematical Principles of Natural Philosophy (tạm dịch: Các Nguyên lý Toán học của Triết học Tự nhiên). Mục tiêu của triết học là hiểu thế giới và vị trí của chúng ta trong đó, đồng thời xác định các phương pháp phù hợp với nhiệm vụ đó. Vật lý, hay triết học tự nhiên, là một phần của dự án đó, và Descartes, Galileo và Newton – và các nhà triết học trước và sau đó – rất chú ý đến vai trò của toán học.
Gottfried Leibniz, một nhân vật nổi tiếng khác ở thế kỷ 17 trong cả lĩnh vực toán học và triết học, cũng quan tâm đến việc thiết lập phương pháp thích hợp. Năm 1677, ông viết:
Phương pháp thực sự được thực hiện trong toàn bộ phạm vi của nó đối với tôi là một điều cho đến nay vẫn chưa được biết đến, và nó chưa được thực hành ngoại trừ trong toán học.
Trước đó, trong luận án tiến sĩ (?) năm 1666, ông đã đặt mục tiêu phát triển một ngôn ngữ biểu tượng có khả năng diễn đạt bất kỳ suy nghĩ hợp lý nào, và một phép tính biểu tượng đủ mạnh để đánh giá tính đúng đắn của bất kỳ tuyên bố nào như vậy. Đề xuất cao cả này đóng vai trò như một lời kêu gọi tập trung cho lĩnh vực logic biểu tượng nhiều thế kỷ sau đó. Nhưng Leibniz đã nói rõ rằng việc áp dụng phương pháp này không chỉ giới hạn trong toán học:
Nếu trước đây những người thuộc các ngành khoa học khác bắt chước các nhà toán học… thì đáng ra từ lâu chúng ta đã có một nền Siêu hình học vững chãi, cũng như một hệ thống đạo đức phụ thuộc vào Siêu hình học vì cái sau bao gồm loại kiến thức về Chúa và linh hồn, những thứ thống trị cuộc sống của chúng ta.
Ở đây, toán học không chỉ là nền tảng của khoa học, mà còn là đạo đức, siêu hình học và kiến thức về Chúa và linh hồn. Các phương pháp tiếp cận toán học được Descartes, Galileo, Newton và Leibniz áp dụng là những tiến bộ lớn về mặt triết học và điều này giúp giải thích niềm đam mê đã có từ lâu của các triết gia với toán học: việc tìm hiểu khả năng tư duy toán học là một phần quan trọng trong việc tìm hiểu khả năng tư duy triết học của chúng ta.
Triết học toán học đạt đến thời kỳ hoàng kim của nó vào giữa thế kỷ 20, được thúc đẩy bởi những thành công trong logic toán học của những thập kỷ trước. Các nhà logic học cuối cùng đã bắt đầu thực hiện, một cách khá ổn, đề xuất của Leibniz về phép tính toán tư duy, phát triển các hệ thống tiên đề và quy tắc đủ biểu đạt để giải thích phần lớn các lập luận toán học. Trong số các nền tảng toán học khác nhau được cung cấp, một nền tảng được gọi là lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel đã được chứng minh là đặc biệt mạnh mẽ. Nó cung cấp các mã hóa tự nhiên và hiệu quả của các đối số toán học thông thường, được hỗ trợ bởi các cấu trúc logic cơ bản và các tiên đề mô tả các đối tượng toán học trừu tượng được gọi là tập hợp. Lý thuyết tập hợp cung cấp một mô tả hấp dẫn về toán học thực hành trên cơ sở một số ít các khái niệm và quy tắc cơ bản. Vào những năm 1930, nhà logic học người Áo Kurt Gödel đã chứng minh các kết quả quan trọng được gọi là định lý bất toàn, xác định các giới hạn cố hữu đối với khả năng giải quyết tất cả các chân lý toán học của phương pháp tiên đề. Do đó, thông qua mô hình toán học của toán học thực hành, logic học đã cho chúng ta một giải trình rõ ràng về bản chất và mức độ của lý luận toán học.
Logic cũng mang lại tiến bộ triết học trên các mặt khác, chẳng hạn như bản chất của chân lý. Vào những năm 1930, nhà logic học người Ba Lan Alfred Tarski đã đưa ra một phân tích toán học về sự thật, một lần nữa cung cấp một lý giải xác thực đồng thời xác định các giới hạn cố hữu đối với phạm vi áp dụng của nó. Những năm 1930 cũng cho ra đời một phân tích toán học rõ ràng về khái niệm khả năng tính toán. Điều này đã dẫn đến một phân tích thuyết phục về bản chất của các loại phương pháp thuật toán được những người như Descartes và Leibniz tìm kiếm, đồng thời một lần nữa phát hiện ra những hạn chế.
Những lý thuyết này về bản chất là toán học, được đặt ra theo phong cách trình bày các định nghĩa, định lý và chứng minh của các nhà toán học. Nhưng chúng cũng được thúc đẩy và chịu ảnh hưởng bởi tranh luận triết học và được công nhận là đáng được xem xét tỉ mỉ dưới góc nhìn triết học. Như vào thế kỷ 17, ranh giới giữa toán học và triết học không còn rõ ràng nữa, và khó có thể phủ nhận rằng đã có những tiến bộ quan trọng. Cả kết quả tích cực và kết quả tiêu cực, hạn chế đều có giá trị: hiểu rõ ràng về những gì mà một phương pháp tiếp cận phương pháp luận cụ thể có thể và không thể đạt được cho mục đích phục vụ việc tập trung tìm hiểu và đề xuất những hướng đi mới cho việc nghiên cứu.
Những thành công ấn tượng đến nỗi, trong một thời gian, dường như mọi nhánh triết học khác đều muốn giống như triết học toán học. Các nhà triết học khoa học đã du nhập vốn từ vựng của các nhà logic học để nói về các lý thuyết toán học, để lý thuyết khoa học được hiểu là một thứ gì đó giống như ‘lý thuyết toán học được bổ sung bởi các vị ngữ khách quan (observation predicates)’ nhằm kết nối chúng với thế giới thực nghiệm. Việc các bài báo lĩnh vực triết học khoa học thường bắt đầu quá trình phân tích bằng cụm từ “cho biết T là một lý thuyết” đã phổ biến đến mức nhà triết học đương thời Mark Wilson đã mô tả phong cách triết học này là “hội chứng T”.
Theo cách tương tự, các triết gia ngôn ngữ đã sử dụng các khái niệm về ý nghĩa, quy chiếu và chân lý từ nghiên cứu toán học của các nhà logic học. Dù các chủ đề vô cùng phức tạp, cấu trúc của ngôn ngữ toán học lại đơn giản. Không có các hình thái hay các thì, vì các nhà toán học thường không bận tâm lắm đến chuyện bắt đầu từ khi nào mà 7 được coi là số lẻ, và thế giới sẽ như thế nào nếu nó là số chẵn. Tính sự thật của một tuyên bố toán học không phụ thuộc vào bối cảnh lịch sử hoặc hoàn cảnh của người nói, và các chuẩn mực giao tiếp của toán học khá chắc chắn, không có những tiền giả định và hàm ý tế nhị. Vì vậy, một chiến lược đầy hứa hẹn cho các nhà ngôn ngữ học và triết gia ngôn ngữ là bắt đầu với việc mô hình hóa ngôn ngữ toán học, thứ mà trong đó có các cơ chế dễ hiểu hơn, và sau đó điều chỉnh các mô hình để phù hợp với phạm vi rộng hơn của các cấu trúc ngôn ngữ.
Trong khi đó, các nhà triết gia tâm trí đã mượn bộ khung sườn logic của logic học để nghiên cứu các mệnh đề chỉ thái độ. Nói một cách đại khái, nếu chúng ta có thể biết điều gì đó, tin điều gì đó, nghi ngờ điều gì đó hoặc mong muốn điều gì đó, thì thứ đó phải là một loại thực thể có sẵn để ta nghĩ về, có lẽ thông qua một số hình thức biểu đạt tinh thần. Các biểu đạt như vậy, như chúng đã được truyền tải trong các tài liệu, có rất nhiều điểm chung với các biểu đạt tượng trưng được sử dụng để diễn đạt các định nghĩa và khẳng định toán học.
Các lĩnh vực có tính triết học kể trên xoay quanh triết học toán học giống như các hành tinh quay quanh Mặt trời, đón lấy nhiệt và ánh sáng từ các giải trình logic của toán học thực hành. Những thành công trong triết học toán học đã cho ra những ví dụ nổi bật về những gì triết học có thể đạt được. Nhưng ngày nay “Mặt trời” đã mất đi vẻ bóng bẩy, và không còn lực hấp dẫn như trước nữa. Chuyện gì đã xảy ra?
Một phần, triết học toán học là nạn nhân của sự thành công của chính nó. Với tư cách là một lĩnh vực truyền thống quan tâm đến việc xác định cơ sở thích hợp cho kiến thức toán học, logic học hiện đại đã có một sự lý giải về chứng minh toán học gọn gàng kín kẽ đến mức hầu như không còn gì khác để làm. Ngoại trừ, có lẽ, một điều nhỏ: nếu toán học dùng để suy luận bằng các tiên đề và quy tắc của lý thuyết tập hợp, thì để dùng nó làm nền tảng cho một lĩnh vực, tất cả những gì chúng ta cần làm là tìm ra loại tập hợp của tiên đề là gì, làm thế nào chúng ta có thể biết về chúng, và tại sao loại kiến thức cụ thể đó lại cho chúng ta biết bất cứ điều gì hữu ích về thế giới. Những câu hỏi về bản chất của các đối tượng trừu tượng như vậy do đó đã trở thành trọng tâm của triết học toán học từ giữa thế kỷ 20 cho đến nay.
Trong các nhánh triết học khác, nơi không có sự gọn gàng kín kẽ nào tương tự, các triết gia phải đối mặt với bản chất lộn xộn vốn có của ngôn ngữ, khoa học và tư tưởng. Điều này đòi hỏi họ phải vật lộn với các vấn đề nghiêm trọng về phương pháp luận. Từ những năm 1950 trở đi, các triết gia ngôn ngữ đã hợp tác với các nhà ngôn ngữ học để hiểu về cuộc cách mạng Chomskyan trong việc suy nghĩ về cấu trúc của ngôn ngữ và năng lực của con người trong việc hiểu và tạo ra lời nói. Các triết gia về tâm trí đã tương tác với các nhà tâm lý học và các nhà khoa học máy tính để tạo ra khoa học nhận thức, một lĩnh vực khoa học mới về tâm trí. Các nhà triết học sinh học phải vật lộn với các vấn đề phương pháp luận liên quan đến sự tiến hóa và lĩnh vực di truyền học đang phát triển, và các nhà triết học vật lý lo lắng về tính thống nhất của các giả định cơ bản của cơ học lượng tử và thuyết tương đối rộng. Trong khi đó, các triết gia toán học chủ yếu quan tâm đến câu hỏi liệu các con số và các đối tượng trừu tượng khác có thực sự tồn tại hay không.
Sự cố định này không lành mạnh. Nó hầu như không liên quan gì đến toán học thực hành đời thường, vì các nhà toán học nói chung không nghi ngờ liệu những gì họ đang làm có ý nghĩa và hữu ích hay không – và, bất kể rằng, triết học có rất ít sự đảm bảo về phương diện đó. Chuyện hóa ra chỉ đơn giản là không có nhiều điều thú vị để nói về các đối tượng toán học trừu tượng và bản thân các đối tượng này cũng chẳng có quá nhiều điều thú vị. Trong chừng mực có thể đưa ra lời biện minh thuyết phục cho việc làm toán học theo cách chúng ta vẫn làm, lời biện minh ấy sẽ không đến từ việc đưa ra những tuyên bố chung chung mà thay vào đó, phải tiến hành nghiên cứu kỹ lưỡng mục tiêu và phương pháp của lĩnh vực này và đánh giá mức độ phù hợp giữa các phương pháp và các mục tiêu đó. Khi ta bắt đầu hỏi tại sao toán học lại giống như nó đang là, và nó cung cấp cho ta những phương tiện mạnh mẽ như vậy để giải quyết vấn đề và giải thích các hiện tượng khoa học, ta mới nhận thấy câu chuyện phía sau rộng lớn và phức tạp đến mức nào.
Vấn đề là việc lý tưởng hóa lý thuyết tập hợp đã lý tưởng hóa quá nhiều. Toán học tư duy thật lộn xộn. Khi chúng ta đào sâu bên dưới bề mặt được sắp xếp gọn gàng, ta nhận thấy một sự hoang mang và bối rối cực lớn ngập tràn trên mảnh đất giao thoa của các ý tưởng, và có rất nhiều điều phải tìm hiểu về cách toán học chuyển những nguồn sáng tạo này thành diễn ngôn khoa học chặt chẽ. Nhưng điều đó đòi hỏi chúng ta phải làm việc chăm chỉ và đụng tay đụng chân. Nhưng, sự cám dỗ ấy thật ngọt ngào và hấp dẫn: toán học là các lý thuyết tập hợp, và ta chỉ cần tạo nên một câu chuyện thực sự hay dựa trên và về các đối tượng trừu tượng, rồi bí mật của Vũ trụ sẽ được khai mở. Sự cám dỗ này giống như tiếng hát của tiên cá, đã khiến triết học toán học bị xáo trộn, theo dòng đâm vào bờ đá.
Việc lĩnh vực này đặt logic làm trọng tâm hẹp gợi ý một lời giải thích khác cho sự suy giảm của nó. Biết rằng triết học toán học đã gắn liền với logic trong khoảng thế kỷ qua, người ta đã mong đợi việc hai lĩnh vực này sẽ tăng giảm song song với nhau. Trong khoảng thời gian đó, logic đã phát triển thành một nhánh thực sự của toán học theo đúng nghĩa của nó, và vào năm 1966, Paul Cohen đã giành được huy chương Fields, giải thưởng danh giá nhất trong toán học, vì đã giải được hai bài toán mở lâu đời trong lý thuyết tập hợp. Nhưng kể từ đó không có huy chương Fields nào khác về logic, và mặc dù chủ đề này có một số tương tác với các nhánh khác của toán học, nó vẫn chưa tìm được đường vào toán học dòng chính.
Nhiều người thuộc các trường phái triết học quan tâm đến ngôn ngữ, tri thức và tư tưởng giờ đây tìm thấy một ngôi nhà chung trong khoa học máy tính, nơi mục tiêu là thiết kế các hệ thống mô phỏng lại những thứ đó. Nếu mục tiêu của triết gia là làm rõ các khái niệm và xây dựng nền tảng, và mục tiêu của nhà khoa học là thu thập dữ liệu và tinh chỉnh các mô hình, thì nhà khoa học máy tính hướng tới việc triển khai các phát hiện và đưa chúng vào sử dụng một cách hiệu quả. Lý tưởng nhất là phải có một dòng chảy thông tin qua lại, trong đó sự hiểu biết triết học sẽ đóng góp thông tin cho quá trình triển khai và kết quả thực tế, và những thách thức gặp phải sẽ cung cấp thông tin ngược lại cho nghiên cứu triết học. Vì vậy, cũng hợp lý khi xem xét vai trò của logic trong khoa học máy tính.
Từ giữa những năm 1950, khoa học nhận thức và trí tuệ nhân tạo (AI) bị thống trị bởi cái mà triết gia tâm trí người Mỹ John Haugeland gọi là GOFAI – ‘good old-fashioned AI’ (tạm dịch: AI đời cũ chất lượng cao) – một cách tiếp cận dựa trên các biểu đạt tượng trưng và các thuật toán dựa trên logic để tạo ra cách xử lý thông minh. Một cách tiếp cận khác đối nghịch, có nguồn gốc từ những năm 1940, kết hợp các mạng nơ-ron, một mô hình tính toán mà trạng thái của nó được mã hóa bằng cách kích hoạt của một số lượng lớn các bộ xử lý đơn giản nhưng có độ bền lớn được kết nối với nhau như các nơ-ron trong não. Những thập kỷ đầu của AI bị chi phối bởi phương pháp tiếp cận dựa trên logic, nhưng trong những năm 1980, các nhà nghiên cứu đã chứng minh rằng mạng nơ-ron có thể được đào tạo để nhận ra các mẫu và phân loại hình ảnh mà không cần thuật toán hiển thị hoặc mã hóa các tính năng có thể giải thích hoặc lý giải cho hành động ra quyết định. Điều này đã tạo ra lĩnh vực học máy. Những cải tiến đối với phương pháp và sự nâng cấp khả năng tính toán đã mang lại thành công lớn và sự phát triển bùng nổ trong vài năm qua. Vào năm 2017, một hệ thống có tên là AlphaGo đã tự đào tạo để chơi trò chơi chiến thuật cờ vây đủ tốt để đánh bại kỳ thủ cờ vây xếp hạng cao nhất thế giới trong một trận đấu ba ván. Phương pháp tiếp cận, được gọi là học sâu, hiện đang càn quét như một cơn bão.
Logic cũng đã mất vị thế trong các nhánh khác của lĩnh vực lý trí tự động. Các phương pháp dựa trên logic vẫn chưa mang lại thành công đáng kể trong việc tự động hóa toán học thực hành, trong khi các phương pháp thống kê rút ra kết luận, đặc biệt là những phương pháp thích ứng với việc phân tích các tập dữ liệu cực lớn, được đánh giá cao trong ngành công nghiệp và tài chính. Các phương pháp tiếp cận tính toán đối với ngôn ngữ học đã từng liên quan đến việc vẽ lên bản đồ cấu trúc ngữ pháp của ngôn ngữ và sau đó thiết kế các thuật toán để phân tích cú pháp thành dạng logic của chúng. Tuy nhiên, ngày nay, việc xử lý ngôn ngữ nói chung là vấn đề của các phương pháp thống kê và học máy, những thứ là nền tảng cho các tương tác hàng ngày của chúng ta với Siri và Alexa.
Năm 1994, kỹ sư điện và nhà khoa học máy tính Lotfi Zadeh tại Đại học California, Berkeley đã sử dụng cụm từ ‘tính toán mềm’ (soft computing) để mô tả các cách tiếp cận như vậy. Trong khi toán học tìm kiếm các câu trả lời chính xác và chắc chắn, thì việc đạt được chúng trong cuộc sống thực thường khó hoặc hoàn toàn không thể. Trong những trường hợp như vậy, những gì ta thực sự cần là các thuật toán trả về các giá trị gần đúng hợp lý cho các câu trả lời đúng một cách hiệu quả và đáng tin cậy. Các mô hình trong thế giới thực cũng có xu hướng dựa vào các giả định vốn không chắc chắn và không chính xác, và phần mềm của chúng ta cần xử lý sự không chắc chắn và thiếu chính xác như vậy theo những cách chuẩn xác và đáng tin.
Nhiều đối tượng nghiên cứu trọng tâm của triết học – ngôn ngữ, nhận thức, kiến thức và suy luận – cũng được coi là “mềm” theo nghĩa này. Cấu trúc của ngôn ngữ vốn vô hình vô định. Ranh giới của các khái niệm cũng rất mờ. Bằng chứng cho một lý thuyết khoa học hiếm khi chắc chắn, mà có tính hỗ trợ các giả thuyết ở các mức độ khác nhau hơn. Nếu các mô hình khoa học thích hợp trong các lĩnh vực này yêu cầu các phương pháp tiếp cận “mềm” hơn là các mô tả toán học rõ ràng, thì triết học cần để tâm đến điều đó. Chúng ta cần xem xét khả năng rằng, trong thiên niên kỷ mới, phương pháp toán học không còn là nền tảng của triết học nữa.
Nhưng sự gia tăng của các phương pháp luận mềm không đồng nghĩa với hồi kết của logic. Chẳng hạn, các cuộc trò chuyện của chúng ta với Siri và Alexa không bao giờ ở mức sâu sắc, và sẽ là hợp lý khi nghĩ rằng các tương tác quan trọng hơn sẽ yêu cầu các biểu đạt chính xác hơn. Trong một bài báo trên tờ The New Yorker năm 2012, nhà khoa học nhận thức Gary Marcus đã đưa ra đánh giá sau:
Trên thực tế, học sâu chỉ là một phần của thách thức lớn hơn trong việc chế tạo máy móc thông minh. Các kỹ thuật như vậy thiếu các cách thể hiện mối quan hệ nhân quả (chẳng hạn như giữa các bệnh và các triệu chứng của chúng) và có khả năng phải đối mặt với những thách thức trong việc tiếp thu các ý tưởng trừu tượng như ‘anh chị em’ hoặc ‘giống hệt nhau’. Chúng không có cách rõ ràng để thực hiện các suy luận logic, và chúng cũng còn một chặng đường dài để tích hợp kiến thức trừu tượng, chẳng hạn như thông tin về việc các đối tượng là (cái/thứ) gì, dùng để làm gì và được sử dụng như thế nào.
Đối với một số mục đích, các phương pháp luận mềm là không phù hợp một cách rõ ràng. Nếu bạn lên mạng để thay đổi vé máy bay đã đặt, hệ thống cần tuân theo các chính sách liên quan và tính phí thẻ tín dụng của bạn theo đó, và bất kỳ sự thiếu chính xác nào cũng sẽ không được phép. Bản thân các chương trình máy tính là những tạo tác nhân tạo nặng tính chính xác, và câu hỏi liệu một chương trình có đáp ứng được đặc điểm kỹ thuật thiết kế hay không là khá rõ ràng. Nhận được câu trả lời đúng đặc biệt quan trọng khi phần mềm đó được sử dụng để điều khiển máy bay, lò phản ứng hạt nhân hoặc hệ thống phóng tên lửa. Ngay cả các phương pháp mềm đôi khi cũng yêu cầu một thành tố “cứng” nào đó. Vào năm 2017, chuyên gia AI Manuela Veloso của Đại học Carnegie Mellon ở Pittsburgh đã được trích dẫn trên tờ Communications of the ACM, chỉ ra điểm yếu của các hệ thống AI hiện đại là sự thiếu rõ ràng:
Chúng (*AI) cần tự giải thích được: tại sao chúng lại làm thế này, tại sao chúng làm thế kia, tại sao chúng lại phát hiện ra điều này, tại sao chúng lại khuyến cáo điều đó? Trách nhiệm giải trình là hoàn toàn cần thiết.
Vì vậy, câu hỏi đặt ra không phải là việc tiếp thu kiến thức vốn dĩ là cứng hay mềm, mà là, khi nào là phù hợp cho mỗi loại kiến thức, và làm thế nào để kết hợp cả hai cách tiếp cận. Leslie Valiant, người chiến thắng Giải thưởng Turing nổi tiếng trong khoa học máy tính, đã nhận xét:
Một câu hỏi cơ bản cho việc xây dựng trí tuệ nhân tạo là mô tả đặc điểm của các khối xây dựng tính toán cần thiết cho nhận thức. Một thách thức cụ thể là thực hiện việc xây dựng đó dựa trên sự thành công của học máy để bao quát các vấn đề rộng lớn hơn trong lĩnh vực trí tuệ. Đặc biệt, điều này đòi hỏi sự dung hòa giữa hai đặc điểm trái ngược nhau – bản chất logic rõ ràng của lý luận và bản chất thống kê của việc học.
Bản thân Valiant đã đề xuất một hệ thống logic mạnh mẽ để đạt được sự dung hòa như vậy.
Vậy còn vai trò của toán học tư duy, ngoài logic, trong việc tìm hiểu triết học thì sao? Ảnh hưởng của toán học đối với khoa học, vốn chỉ tăng lên theo thời gian, đang nói lên điều đó. Ngay cả những cách tiếp cận mềm để tiếp thu kiến thức cũng được dựa trên nền tảng toán học. Thống kê được xây dựng trên nền tảng của toán học xác suất, và mạng nơ-ron là các mô hình toán học mà các thuộc tính của nó được phân tích và mô tả bằng các thuật ngữ toán học. Để chắc chắn, các phương pháp khác này sử dụng các biểu đạt khác với các biểu đạt thông thường của kiến thức toán học. Nhưng chúng ta sử dụng toán học là để hiểu về các phương pháp đó, và hiểu chúng đang làm gì.
Từ trước đến nay, toán học đã có khả năng đàn hồi đáng kể khi thích ứng với nhu cầu của các ngành khoa học và đáp ứng được những thách thức về khái niệm mà các ngành này tạo ra. Thế giới là vô định, không chắc chắn, nhưng toán học cho chúng ta lý thuyết xác suất và thống kê để đối phó. Newton đã giải quyết vấn đề tính toán chuyển động của hai vật thể quỹ đạo, nhưng ông sớm nhận ra rằng vấn đề dự đoán chuyển động của ba vật thể quỹ đạo là cực khó để tính toán. (John Machin, người cùng thời với Newton, đã viết rằng ‘đầu của Newton không bao giờ đau, nhưng khi ông nghiên cứu về Mặt trăng thì có’.) Đáp lại, lý thuyết hiện đại về hệ động lực đã cung cấp một kiểu ngôn ngữ và khuôn khổ để thiết lập các tính chất định tính của các hệ thống như vậy ngay cả khi đối mặt với những tính toán cực khó. Ở cực điểm, các hệ thống như vậy có thể biểu hiện ra các xử lý hỗn loạn, nhưng một lần nữa toán học giúp chúng ta hiểu được điều đó xảy ra như thế nào và khi nào. Các tạo tác nhân tạo được thiết kế và có tính tự nhiên có thể bao gồm các mạng lưới tương tác phức tạp, nhưng các phương pháp tổ hợp trong toán học cung cấp các phương tiện để phân tích và để hiểu cách xử lý của chúng.
Do đó, toán học đã tồn tại trong nhiều thế kỷ trước sự khó lường, không chắc chắn, không thể đoán trước và phức tạp, tạo ra các khái niệm và phương pháp giúp mở rộng ranh giới của những gì chúng ta có thể biết với sự chặt chẽ và chính xác. Vào những năm 1930, nhà thần học người Mỹ Reinhold Niebuhr đã cầu xin Chúa ban cho chúng ta sự thanh thản để chấp nhận những điều chúng ta không thể thay đổi, can đảm để thay đổi những điều chúng ta có thể, và sự khôn ngoan để biết sự khác biệt. Nhưng để hiểu được thế giới, điều chúng ta thực sự cần là sự thanh thản để chấp nhận những điều chúng ta không thể hiểu, can đảm để phân tích những điều chúng ta có thể, và sự khôn ngoan để nhận biết sự khác biệt. Khi nói đến việc đánh giá các phương tiện để thu nhận kiến thức và cố gắng bứt khỏi các ranh giới của sự hiểu biết, chúng ta phải tìm đến triết học để được hướng dẫn.
Những tiến bộ lớn về khái niệm trong toán học thường được cho là nhờ sự thiên tài và cảm hứng, những yếu tố mà có lẽ ta chẳng cần nói gì thêm. Nhưng một phần công lao thuộc về chính toán học, vì đã cung cấp các phương thức suy nghĩ, khung nhận thức và các quá trình lập luận để sự thiên tài có thể phát huy khả năng. Đây là phương pháp được Descartes và Leibniz đánh giá rất cao, và việc nghiên cứu nó hẳn là một nguồn say mê bất tận. Triết học toán học có thể giúp chúng ta hiểu được điều gì về toán học đã khiến nó trở thành một phương tiện nhận thức mạnh mẽ và hiệu quả, cũng như cách nó mở rộng khả năng hiểu biết của ta về thế giới xung quanh của.
Cuối cùng, toán học và các ngành khoa học có thể trộn lẫn với nhau mà không cần viện đến triết học hàn lâm, với sự thấu hiểu, hướng dẫn và phản ánh đến từ những người thực hành chu đáo. Ngược lại, tư duy triết học không mang lại lợi ích gì cho bất kỳ ai trừ khi nó được dùng cho một điều gì đó đáng để nghĩ. Nhưng triết học toán học đã đáp ứng rất tốt nhu cầu của chúng ta trong quá khứ, và nó có thể lặp lại điều đó một lần nữa. Do đó, chúng ta nên đặt hy vọng vào thế hệ triết gia tiếp theo, một số người trong số họ đã bắt đầu tìm đường quay lại những câu hỏi thực sự quan trọng, thử nghiệm các phương pháp phân tích mới và chú ý hơn đến toán học thực hành. Lĩnh vực này vẫn có cơ hội, miễn là chúng ta nhớ được lý do tại ta lại quan tâm nhiều đến nó.
