Pi là số vô tỉ. Điều này có nghĩa là nó sẽ không thể viết dưới dạng tỉ số của hai số nguyên được. Có rất nhiều minh chứng rằng Pi là số vô tỉ, nhưng rắc rối lắm, không phải ELI5. Có 1 trang Wiki riêng luôn nè. [https://en.wikipedia.org/…/Proof_that_%CF%80_is_irrational]
Một trong những tính chất của tất cả các số vô tỉ (không chỉ Pi) là phần thập phân của chúng sẽ là vô hạn và không lặp lại. Chứng minh vụ này dễ hơn, nhưng tui sẽ ra ví dụ cụ thể hen, còn phần chứng minh thì là phần chung chung tổng quát hơn của ví dụ này.
Việc chứng minh số vô tỉ KHÔNG có phần kết thúc hay lặp lại cũng giống như việc chứng minh các số có phần thập phân CÓ phần kết thúc, hoặc lặp lại, không phải là số vô tỉ (ví dụ: số hữu tỉ).
Edit xíu để làm rõ cụm “lặp lại” nè: Lặp lại theo ý tui là phần đuôi của các số thập phân sẽ có 1 chuỗi chữ số được lặp lại, và sau khi bắt đầu lặp, chúng sẽ tiếp tục lặp lại mãi mãi.
Ví dụ, 1,9876456456… có phần đầu không lặp lại, nhưng cái cục “456” nó lặp lại mãi mãi (nên nó là số hữu tỉ). Và 1.2222229037… có phần đầu lặp lại, nhưng đã dừng lại (nên nó là số vô tỉ).
Nếu phần thập phân kết thúc:
Giả sử x = 14.4245. Nhân với 10^4 = 10000 để loại phần thập phân, ta được 144245. Để lấy lại số ban đầu, ta chỉ cần chia cho 10^4 lần nữa: 144245/10000. Vì cả tử và mẫu đều là số nguyên, nên thương của chúng – hay số ban đầu là số hữu tỉ. Ông có thể khái quát hoá việc này để chỉ ra rằng: bất kì số nào có phần thập phân kết thúc là số hữu tỉ, bằng cách nhân và chia cho luỹ thừa thích hợp của 10, để loại bỏ phần thập phân.
Nếu phần thập phân không kết thúc, nhưng lặp lại:
Giả sử x = 14.5124874874874… (cái cục 874 được lặp lại).
Thì:
x * 10^4 = 145124.874874… (vậy chỉ có phần lặp lại là ở nằm sau dấu phẩy [là phần thập phân])
Và:
x * 10^7 = 145124874.874874… (vậy giờ chỉ có 1 cục 874 trước dấu phẩy thôi, còn lại là thập phân)
Rồi mình trừ:
10^7x – 10^4x = 145124874.874874… – 145124.874874…
x * (10^7 – 10^4) = 145124874.874874… – 145124.874874…
x = (145124874.874874… – 145124.874874…) / (107 – 104)
Bởi vì tử và mẫu đều là số nguyên (phần thập phân trên tử giống nhau nên trừ đi hết), x sẽ là một số hữu tỉ. Ông có thể khái quát hoá việc này để chỉ ra rằng: bất kì số nào có phần thập phân lặp lại là số hữu tỉ, bằng cách nhân các luỹ thừa thích hợp của 10.
__________________________________________
>u/[deleted] (14 points)
Tui cố lắm rồi nè:
Số hữu tỉ là thương của 2 số nguyên. Như ông biết đó, mấy số kiểu 1, 2, 3, 4,… chia cho một số giống vậy nữa.
Nhưng cũng sẽ có những số không như thế, được gọi là số vô tỉ.
Số vô tỉ có một tính chất đặc biệt: nếu ông viết chúng ra, phần thập phân sẽ là vô hạn!
Các bình luận khác đã giải thích chiều dài của số vô tỉ, và cả nói luôn vì sao phần thập phân không bao giờ kết thúc rồi, nên tui sẽ không nói lại nữa.
Để xác minh rằng Pi là vô hạn, ta sẽ chỉ ra nó là số vô tỉ.
Giờ hãy nhớ lại một hàm, có chức năng như chiếc máy, nuốt vào 1 số, lại nhả ra 1 số khác.
Đó là hàm tan. Khi tính tan một số hữu tỉ (≠0), ta sẽ luôn được một số vô tỉ!
Mà, khi tính tan pi/4, ta nhận được một số hữu tỉ! Vậy pi/4 không thể là số hữu tỉ được. Bởi nếu nó là số hữu tỉ, khi tính tan pi/4, ta sẽ nhận được số vô tỉ; nhưng đâu có đâu.
Nếu pi/4 không phải số hữu tỉ, thì pi cũng vậy luôn.
