Nói ngắn gọn, đa số toán học cổ đại thời kỳ đầu là được phát hiện. Nhưng từ thời Hy Lạp cổ hơn 2000 năm trước, các nhà toán học đã sáng tạo rất nhiều sự vật mới vượt tự nhiên, dẫn đến toán học sau này ngày càng xuất hiện thêm nhiều phát minh.
Các bậc hiền triết Hy Lạp cổ không biết rằng họ đã mở đường đến một thế giới mới cho con người.
Trong thế giới mới này, suy nghĩ của con người được giải phóng, đồng thời đẩy nhanh tiến bộ khoa học và kỹ thuật, giúp văn minh nhân loại bước vào thời kỳ tiến bộ vượt bậc.
Bắt đầu từ định nghĩa
Suy cho cùng thì con người phát hiện hay phát minh toán học được quyết định bởi định nghĩa của hai từ này.
Đầu tiên, chúng ta xem hai trường hợp sau:
- Nhà khoa học phát hiện vi hạt, không phải phát minh ra vi hạt.
- Các bậc tiền bối thời nhà Thương phát minh ra chữ giáp cốt, không phải phát hiện chữ giáp cốt.
Qua ví dụ trên, ta có thể rút ra rằng:
- Phát hiện chỉ con người tìm ra những sự vật chưa ai biết trong vũ trụ tự nhiên.
- Phát minh chỉ con người sáng tạo ra những sự vật chưa từng tồn tại trong vũ trụ tự nhiên.
Nếu lấy hai định nghĩa này làm cơ sở thì suy ra được:
Định nghĩa, ký hiệu, quy tắc toán học do con người phát minh, trước đó không tồn tại trong vũ trụ tự nhiên. Cho nên, toán học được con người phát minh mà không phải phát hiện (đã chứng minh).
Đợi đã, vậy là chứng minh xong rồi hả?
Không đâu, vì chuyện không đơn giản như vậy.
Vũ trụ tự nhiên hữu hạn và vô hạn
“Vô hạn” là một trong số khái niệm cốt lõi của toán học, nhưng “vô hạn” chỉ có trong tưởng tượng của con người, không tồn tại trong vũ trụ tự nhiên.
Trong suy nghĩ của ta, vũ trụ tự nhiên là vô hạn.
Song, cùng với năng lực quan sát đo đạc của con người ngày càng tăng cao, các nhà khoa học dần phát hiện rằng thực ra vũ trụ tự nhiên nơi ta đang sống “nhỏ” hơn tưởng tượng của chính chúng ta nhiều.
Theo số liệu thiên văn đo được, các nhà khoa học nhận ra không thể ngược dòng thời gian vô hạn, mà có một điểm bắt đầu mang tên “vụ nổ lớn (Big Bang)”. Tuổi của vũ trụ khoảng dưới 20 tỷ năm. Không gian vũ trụ cũng không phải vô hạn, đường kính vũ trụ khoảng dưới 100 tỷ năm ánh sáng. Trong khi khối lượng mọi vật chất bình thường là 4,5 x 10^51 kilogram. Cho dù đây đều là những con số thiên văn khổng lồ, nhưng chúng vẫn hữu hạn.
Cũng có nghĩa là vũ trụ vô hạn chỉ do ta nghĩ ra.
Tất cả sự vật tự nhiên đã biết trong vũ trụ bao gồm cả thời gian, không gian, vật chất, năng lượng, vân vân đều hữu hạn. Không có sự vật vô hạn nào tồn tại trong tự nhiên.
Tuy nhiên, so sánh với tự nhiên, trong thế giới toán học gần như chỗ nào cũng có vô hạn.
Chẳng hạn, phân số ⅓ biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,3333…
Ví dụ khác thường gặp là số Pi – một hằng số vô hạn không tuần hoàn, một con số bao hàm vô hạn.
Đến nay con người vẫn chưa thể tính hết số Pi, không phải vì khó tính, bởi vì tất cả vật chất và năng lượng mà con người có là hữu hạn.
Đừng quên, dù là máy tính hay não người đều cần tiêu hao năng lượng và thời gian để tính toán. Hơn nữa việc lưu trữ số liệu cũng sử dụng không gian, vật chất. Vì vậy, khả năng tính toán của con người không thể tăng lên vô hạn.
Sự thật là, cho dù con người dùng hết năng lượng của vũ trụ, tính đến ngày vũ trụ hủy diệt cũng không thể tính ra chữ số cuối cùng của số Pi. Cho dù tiêu hao hết tất cả vật chất, viết kín không gian vũ trụ cũng không thể lưu giữ số liệu tính toán của số Pi.
Bởi vì vô hạn nghĩa là không có điểm dừng.
Các bạn nghĩ kỹ xem, có đúng vậy không?
Chỉ phép tính của một hằng số thường gặp trong thế giới toán học đã có thể hao hết toàn bộ năng lượng, vật chất, thời gian cùng không gian của vũ trụ tự nhiên.
Điều thú vị là các nhà toán học lại chứng minh được số số vô tỉ như π nhiều hơn số hữu tỉ.
Thú vị hơn nữa là, có vô hạn lớn hơn một số vô hạn khác. Chẳng hạn, số số tự nhiên là vô hạn, mà số số thực thì nhiều hơn số tự nhiên.
Những vô hạn này đều là khái niệm mới do con người chứng minh, sáng tạo ra trong thế giới toán học. Chúng chưa từng tồn tại trong vũ trụ tự nhiên, là sự vật mới được con người phát minh sau quá trình suy luận, quan sát đo đạc vũ trụ tự nhiên.
Nói cách khác, thế giới toán học và thế giới tự nhiên là hai thế giới khác nhau. Toán học là thế giới hoàn toàn mới do con người sáng tạo ra.
