Q: Có lời giải thích trực quan nào để diễn tả cách Biến đổi Fourier làm việc không?
A: KYLE DOWNS, LIFE SCIENCE & INDUSTRIAL MICROSCOPY
__________________________________
Trước thời của Copernicus và Heliocentricity, người Hy Lạp cổ đại tin rằng mặt trời và các hành tinh khác chuyển động xung quanh Trái Đất với một quỹ đạo tròn khổng lồ. Nhưng khi quan sát kỹ hơn, họ nhận thấy không phải lúc nào cũng như vậy. Đôi khi các hành tinh nhìn thấy trên bầu trời dường như di chuyển ngược lại. Vì thế, nhà toán-lý-thiên văn học người Hy Lạp-La Mã, G Ptolemy đã đưa một giải pháp thông minh. Ông giả thuyết rằng các hành tinh không chỉ di chuyển xung quanh trái đất theo một vòng tròn lớn mà còn di chuyển theo một vòng tròn nhỏ cùng lúc. Ông gọi đó là mô hình Epicycle. (ảnh 1)
Không lâu sau, các dữ liệu quan sát được không phù hợp kết quả của họ nữa. Vì thế một vài vòng tròn lại được thêm vào. Họ tiếp tục thêm như thế đến khi bản đồ hệ mặt trời của chúng ta nhìn như một chiếc kính vạn hoa. (ảnh 2)
Mô hình Ptolemaic trông rất ổn. Nó đã tồn tại suốt 1300 năm mà không bị phá bỏ. Nhưng thực sự thì nó không chính xác, không phải bởi vì ngày nay chúng ta đã biết rằng Trái đất và các hành tinh khác quay xung quanh Mặt trời. Vấn đề ở đây là với giả thuyết Epicycle là nó không miêu tả được các thông tin quỹ đạo thực tế của chúng. Đúng vậy – trong nhiều năm, mô hình có thể đưa ra các phỏng đoán khá chính xác, nhưng bản chất đó chỉ là quan hệ giữa các vòng tròn. Bằng cách thêm đủ các vòng tròn, bạn có thể ước lượng được bất kỳ quỹ đạo nào với một độ chính xác nhất định. Dựa vào đó, bạn có thể tạo ra bất kỳ loại tín hiệu nào – tín hiệu radio, một đoạn nhạc, dữ liệu trong máy tính, etc … chỉ với việc thêm vào đủ các đường tròn. Sao có thể như thế được nhỉ? Well công thức Euler đã cho phép chúng ta biểu diễn các đường tròn bằng cách sử dụng các số phức. (ảnh 3)
Mỗi điểm trên một mặt phẳng có thể được coi là một hàm phức theo thời gian. Nếu bạn lấy một hành tinh, hay bất cứ thứ gì khác, di chuyển trên một đường tròn với bán kính R và có tốc độ góc là ω thì phương trình biểu diễn vị trí của hành tinh là một hàm theo biến thời gian:
z(t)= R.exp(iωt)
Nếu bạn di chuyển với 2 đường tròn thì ta có phương trình như sau:
z(t)=R₁.exp(iω₁t) + R₂.exp(iω₂t)
Và đến khi có vô hạn các đường tròn, phương trình biểu diễn vị trí trở thành:
z(t)= (-∞ →+∞) ∫ R(ω).exp(iωt)dω
- Hàm R(ω) chính là Biến đổi Fourier (Fourier Transform: FT) của z(t)! Và không chỉ là hành tinh, nếu bạn có bất cứ đường đi hay tín hiệu nào phụ thuộc vào thời gian, nó có thể được mô tả lại chính xác bởi vô số các đường có tần số khác nhau cộng lại. Và bán kính của các vòng tròn này là Biến đổi Fourier của các đường đi đó.
Hãy xem xét kỹ hơn ý tưởng biểu diễn một tín hiệu dưới dạng sóng tròn hay hình sin. Lấy ví dụ là một sóng vuông.
Nếu tôi muốn một sóng xung vuông, nhưng lại chỉ có nguồn tạo ra sóng hình sin, làm thế nào bây giờ? (ảnh 4)
Nhìn vào hình này (ảnh 5), cả hai cột đều bắt đầu từ 1 sóng hình sin giống nhau. Cột bên trái là các sóng điều hòa hình sin. Cột bên phải là kết quả của việc cộng liên tục các sóng từ cột bên trái lại với nhau. Surprise! Từ các sóng có dạng uốn lượn đó đã dần biến thành dạng sóng vuông.
Khái niệm này là nền tảng cơ bản của Chuỗi Fourier (Fourier Series:FS), cho thấy rằng bạn có thể biểu diễn một hàm tuần hoàn dưới dạng một tổng rời rạc của các hàm phức tạp … dễ hiểu hơn thì nó giống như là một chuỗi các hàm có dạng hình tròn, không liên tục, được cộng lại với nhau.
Biến đổi Fourier phân tích các thành phần của hàm thành các thành phần lượng giác đơn giản … tuy nhiên, nó được dùng với các tín hiệu bất ổn định, không tuần hoàn, loại mà không thể biến đổi thành một tổng các sóng hình sin rời rạc. Thay vào đó, FT biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn thành dạng chồng chất liên tục hoặc tích phân một hàm mũ phức tạp. Cả FT và FS đều là một phần của Phân tích Fourier, thứ cho phép chúng ta xấp xỉ một hàm tổng quát thành tổng các hàm lượng giác đơn giản hơn.
- Khi chúng ta áp dụng FT, dữ liệu không hề bị thay đổi, chỉ là chuyển sang làm việc ở một miền khác thôi.
Ví dụ thường gặp nhất là khi xét dữ liệu trong miền tần số, nếu bạn đặt tất cả các sóng trong miền tần số lại với nhau, bạn sẽ thu được lại dạng tín hiệu ban đầu.
Vậy tại sao lại cần đến đống rắc rối bùi nhùi này làm gì? Chuỗi Fourier cung cấp cho ta một công cụ hữu ích để có thể chuyển đổi qua lại giữa các miền, các phép toán tuyến tính trong miền này luôn có một phép toán tương ứng trong miền kia. Ví dụ như vi phân trong miền thời gian tương ứng với phép nhân trong miền tần số (?)… thế thực hiện phép vi phân sẽ dễ dàng hơn khi ta chuyển sang tính toán trong miền tần số. Có vô vàn ứng dụng, cách biểu diễn của FT, làm cho nó trở thành một công cụ quan trọng trong phân tích tín hiệu, xử lý hình ảnh, quang học, …
Link: https://qr.ae/pNKLBh
Sources:
Wikipedia
Hot Questions – Stack Exchange
An Interactive Guide To The Fourier Transform
www.polaris.iastate.edu
The Antecedent
