Có ai giải thích được nghịch lý của Hilbert không?
Tôi không hiểu lắm việc có một số lượng phòng vô tận nhưng tất cả đều đã có khách. Cứ như thể số lượng phòng thay đổi để tương thích với số lượng khách vậy.
https://en.wikipedia.org/…/Hilbert%27s_paradox_of_the_Grand…
(Chú thích: Nghịch lý “Khách sạn vô tận” là việc một khách sạn vô tận đã có một lượng khách vô tận kín hết các phòng, nhưng vẫn có thể chứa thêm rất nhiều số lượng khách vô tận nữa bằng cách thay đổi nguyên tắc xếp phòng. Các bạn tìm hiểu thêm tại đây: https://youtu.be/Uj3_KqkI9Zo)
_____________________
Link Reddit: https://redd.it/45usgh
_____________________
u/jamesdig (1 point)
Chà, thì phải có lý do nên nó mới được gọi là nghịch lý chứ! Nhưng căn bản là, nếu vô tận = vô tận, thì một số lượng khách vô tận sẽ vừa vặn hoàn hảo với một số lượng phòng vô tận. Nếu cần, hãy tưởng tượng các phòng được đặt số từ 1 tới vô tận sử dụng số tự nhiên, và các vị khách cũng vậy. Khách 1 vào phòng 1, khách 2 vào phòng 2, v.v. Tuyệt, có một sự thống nhất tương ứng giữa khách và phòng, và tất cả các phòng đều kín chỗ.
Ổn rồi, nhưng mà! Những số trong tập hợp đếm được đều bình đẳng với nhau. Điều này nghĩa là sao? Cũng như cách tôi có thể xếp cặp hai hàng số, ví dụ như 1 trên hàng A cặp với 1 trên hàng B, và 2 trên A với 2 trên B, tôi cũng có thể xếp cặp hai hàng số ví dụ như 1 trên hàng A cặp với 2 trên B, và 2 trên hàng A cặp với 4 trên hàng B, v.v. Và tất cả vẫn có sự thống nhất tương ứng, chỉ là bây giờ thì các số lẻ trên hàng A đều không có cặp nữa.
Điều này có vẻ kì cục… nhưng hãy nhớ này, tất cả mọi số trong tập hợp đếm được (căn bản là, tất cả những số mà tôi có thể biểu thị bằng cách xếp cặp một-đối-một với các số tự nhiên) đều bình đẳng. Và chúng ta đã thấy được điều đó vì tất cả chúng đều có thể xếp cặp tương ứng với các số trong tập hợp tự nhiên. Nên số lẻ, các số chia hết cho 3, các số chia hết cho 5, v.v., đều có thể được xếp cặp tương ứng với tập hợp số tự nhiên.
Nên sẽ có cái gì đó không ổn nếu chúng ta nghĩ về sự vô tận như thể nó là một con số. Bởi vì không có một số nào biểu thị được số lượng phần tử trong một tập hợp X và trong một tập hợp Y, trong khi tập hợp X thì có tất cả các phần tử của tập hợp Y, nhưng tập hợp Y lại không bao gồm tất cả phần tử của tập hợp X. Chuyện đó thật điên rồ! Đó phải là hai số khác nhau chứ! Ý tôi là, nếu X là {A, B, C, D} và Y là {A, B, C} thì rõ ràng chúng có số lượng phần tử khác nhau. Nhưng chẳng hiểu sao, nếu tập hợp M là {1, 2, 3, 4, … } và tập hợp N là {2, 4, 6, 8, … } thì chúng lại có số lượng phần tử bằng nhau. Và chúng ta biết điều này, vì khi ta thử xếp cặp M với N thì ta xếp được, và khi thử xếp cặp X và Y thì có một phần tử trong X không được xếp cặp.
Rồi, vậy là vô tận không phải là một con số theo nghĩa thông thường. Vậy thì chúng ta có thể làm những điều kì cục với nó.
Vậy chúng ta bắt đầu với khách sạn vô tận đã đầy một số lượng khách vô tận, vì chúng ta xếp cặp họ theo kiểu 1-1, 2-2, 3-3. Bây giờ lại có thêm khách đến, và kì cục làm sao, chúng ta có thể “dọn chỗ” bằng cách thay đổi kiểu xếp cặp ban đầu. Chúng ta gọi tất cả các vị khách lại và bảo, “xin quý vị hãy đến căn phòng có số gấp đôi số phòng các vị đang ở”. Vậy là khách 1 sẽ vào phòng 2, khách 2 vào phòng 4, khách 3 vào phòng 6, v.v. Và đột nhiên chúng ta lại có một số lượng phòng vô tận cho khách – bởi vì chúng ta đã thay đổi cách xếp cặp rồi!
Và điều đó có thể làm được vì vô tận không thể được biểu thị bằng một con số thông thường. Nó là một thứ gì đó khác (cái “thứ gì đó khác” ấy rất phức tạp). Nhưng bằng cách sử dụng nguyên tắc đơn giản rằng “hai tập hợp sẽ có một số lượng phần tử bằng nhau nếu ta có thể xếp cặp mỗi phần tử của tập hợp A với chính xác một phần tử của tập hợp B và không có số nào bị lẻ ra trong cả hai tập hợp”, ta có thể thấy rằng số phòng sẽ kín hết với một số lượng khách vô tận, nhưng vẫn sẽ có một số lượng phòng vô tận nếu chúng ta chỉ việc cho một khách vào căn phòng gấp đôi số phòng họ đang ở. Một lần nữa, nó là nghịch lý, vì nguyên tắc xếp cặp này có vẻ sẽ áp dụng được cho mọi tập hợp, nhưng lại tạo ra những kết quả điên rồ với tập hợp vô tận.
_____________________
Bài đăng của bạn Julian Stella trong group:
https://www.facebook.com/groups/rvn.group/permalink/572476223662590
Edited by https://rvnweb.site
[Image by: TEDEd]
