Các ông có 4 đồng xu, làm bằng vàng hoặc đồng. Nhìn vào không thể phân biệt 2 loại này. Xu vàng nặng 2g, xu đồng nặng 1g. Các ông không biết xu nào là xu nào, hay có bao nhiêu xu mỗi loại, và được phát một chiếc cân chính xác để cân chúng (ví dụ, các ông bỏ 3 xu lên, có thể thấy kết quả là tổng trọng lượng 5g). Chỉ được cân 3 lần, và phải nói trước sẽ cân xu nào (nghĩa là phải quyết định chọn xu cho cả lần 2, lần 3 trước khi có kết quả cân lần 1).
Liệu việc xác định chất liệu cả 4 đồng tiền có khả thi không? Hãy đưa ra các bước cân để chứng minh việc này là có/không thể.
Gợi ý: đầu tiên hãy cân nhắc bài toán với 4 đồng xu không rõ trọng lượng mà ta phải tìm trọng lượng của chúng; rồi mới xem xét các trường hợp đặc biệt chỉ cho phép xu 1g và 2g.
_______________________________________
u/ACHeca7
Lượt 1, cân tất cả trừ xu thứ nhất.
Lượt 2, cân tất cả trừ xu thứ hai.
Lượt 3, cân tất cả trừ xu thứ ba.
Nếu trong số 3 lượt có 1 lượt cho ra tổng trọng lượng là 3 hoặc 6, ta dễ dàng kết luận vì đã biết chính xác 3 xu trong lượt đó làm từ đồng hay vàng. Vậy nên ta chỉ cần quan tâm đến trường hợp kết quả cân là 4 hoặc 5 thôi.
Vì vai trò của nguyên liệu vàng/đồng và vị trí các xu là cân đối, nên ta chỉ cần xét 2 trường hợp: 4-4-4 (tất cả các xu đều là đồng trừ xu thứ 4) và 4-4-5 (xu 1 và 2 là vàng, xu 3 và 4 là đồng). Với các cách khác ra tổng 4 và 5 đều có thể đổi về 1 trong 2 trường hợp trên bằng cách thay đổi tên thứ tự của đồng xu hoặc đảo chỗ vàng với đồng.
>>u/elmusfire (2 points)
Đúng rồi, đỉnh đó!
>>>u/angryWinds (2 points)
Tui không chắc mình theo logic lời giải của u/ACHeca7 hoàn toàn được không nữa.
Tuy nhiên, tui lại có một biện giải hoàn toàn khác cho lời giải của ông ấy.
Vì tui hình như chẳng hiểu nổi chỗ “Với các cách khác ra tổng 4 và 5 đều có thể đổi về 1 trong 2 trường hợp trên” là sao nữa.
Biện giải của tui như sau:
Nếu ta có B + C + D = w1 [trọng lượng 1], A + C + D = w2 và A + B + D = w3.
Vậy xét w1 + w2 + w3 = 2A + 2B + 2C + 3D. Và mỗi 2A, 2B and 2C nhất thiết phải là số chẵn. Vậy nếu tổng w1 + w2 + w3 là chẵn, ta dễ biết D cũng chẵn, và D = 2g. Tuy nhiên nếu tổng là số lẻ, D = 1g.
Một khi ta biết D là bao nhiêu, bằng cái game chẵn/lẻ vụng trộm này, ta có thể gán giá trị thích hợp vào các phương trình trên, và ta có 3 phương trình 3 ẩn, dễ ẹc trong đại số luôn.
Edit: gắn Spoiler khó ghê.
>>>>u/elmusfire
Giải hay thiệt đó. Để tui làm rõ cách của mình nhe, trong trường hợp ông có hứng thua. Ý tui là:
Có 8 khả năng: (4,4,4), (4,4,5), (4,5,4), (4,5,5), (5,4,4), (5,4,5), (5,5,4) và (5,5,5). Nếu ông xét việc thay đổi tên các xu, thì (4,5,4) cũng y hệt như (4,4,5) và cả (5,4,4) nữa. Chỉ là thay đổi tên biến thôi. Và nếu ông xét việc thay đổi 2g thành 1g, cũng như ngược lại, thì (4,4,5) cũng y như (5,5,4). Vậy khi ông có cách giải cho cụm đầu (giả sử 2g, 2g, 1g, 1g) thì cũng là cách giải cho cụm hai y hệt nhưng đổi 2 thành 1 (1g, 1g, 2g, 2g). Vậy chỉ cần giải (4,4,4) và (4,4,5) thôi, nó sẽ cho phép ông khẳng định những cụm còn lại cũng được giải bằng hai phép đổi trên luôn.
Hi vọng giải thích vậy sẽ rõ ràng hơn.
