PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKER
Vào thế kỷ 19, kỹ sư cơ khí người Pháp Claude – Louis Navier và nhà toán học người Anh George Stokes đã đưa ra một bộ phương trình mô tả chất lỏng, được gọi là phương trình Navier – Stokes (phương trình NS). Ở một mức độ nào đó, bộ phương trình được coi là một phần mở rộng định luật chuyển động của Newton. Bộ phương trình này nhìn có vẻ phức tạp, nhưng chúng lại gắn bó chặt chẽ và xuất hiện trong cuộc sống của chúng ta gần như mọi lúc, như thời tiết và khí hậu.
***
Thời tiết là một thứ kì diệu, đôi khi nó có thể dự đoán được, đôi khi lại không. Theo góc nhìn khoa học, thời tiết rất phức tạp. Nó là sự kết hợp của chuyển động khí quyển, chuyển động của đại dương và sự vận chuyển độ ẩm trong khí quyển. Tất cả đều liên quan đến sự thay đổi áp suất và thay đổi nhiệt độ khí quyển. Từ góc nhìn toán học, tất cả điều này có thể được mô tả bằng các phương trình vi phân từng phần, cốt lõi của nó là để mô tả sự chuyển động không thể nhìn thấy được của không khí.
Nếu chúng ta quan sát một điểm trong khí quyển. Tại điểm này, không khí sẽ có vận tốc “u”, mật độ “ρ” và áp suất “P”. Ngoài ra, không khí tại thời điểm này cũng sẽ bị ảnh hưởng bởi sự tự quay “f” và trọng lực “g” của trái đất. Các đại lượng này đều xuất hiện trong phương trình NS, sự thay đổi vận tốc theo thời gian tại thời điểm này có liên quan đến sự thay đổi không gian, áp suất.
“Re” trong phương trình được gọi là số Reynold. Khi độ nhớt của chất lỏng rất cao (như mật ong), số Reynold rất thấp, khi độ nhớt của chất lỏng thấp (như nước), số Reynold cao.
Điều ngạc nhiên nhất là dù là sự thay đổi của bão hay dòng chảy của dòng hải lưu, sự thay đổi của không khí bao quanh máy bay hay máu chảy trong cơ thể chúng ta… tất cả tính chất vật lý của các chất lỏng này đều có thể được mô tả bằng bộ phương trình NS. Tuy nhiên, phương trình NS cũng tồn tại một số vấn đề. Vấn đề đầu tiên là bộ phương trình này cực kỳ khó giải. Hiện tại, chỉ có một vài phương pháp giải được biết đến và chúng thường đại diện cho các trường hợp không có giá trị vật lý thực.
Các nhà toán học và nhà khoa học đã thực hiện rất nhiều nghiên cứu để tìm ra các giải pháp gần đúng và có hiệu quả cho bộ phương trình NS trong các tình huống có ý nghĩa vật lý thực (chẳng hạn như dòng nước chảy trong ống).
Có những chương trình máy tính được thiết lập riêng cho việc giải các phương trình này. Ví dụ, Cục Khí tượng sẽ sử dụng các chương trình này để dự đoán thời tiết. Các chương trình này cũng được sử dụng trong thiết kế máy bay và xe hơi, nghiên cứu lưu thông máu trong cơ thể, hiệu ứng ô nhiễm và phân tích kết cấu bên trong của các hành tinh.
Một vấn đề khó khăn khác: dù cho là những máy tính nhanh nhất, các chương trình này cũng mất rất nhiều thời gian để tính toán và những máy tính này thường chỉ giải quyết được một số vấn đề tương đối đơn giản. Chúng không thể ứng phó được với sự nhiễu loạn – hoặc sự chuyển động phức tạp của chất lỏng trên quy mô nhỏ. Tính đến hiện tại, không có chương trình máy tính nào có thể mô phỏng chính xác sự nhiễu loạn, mà chỉ có thể tính gần đúng.
Sự nhiễu loạn và sự hỗn loạn có liên quan chặt chẽ với nhau. Nếu một hệ thống có thể được mô tả bằng các phương trình toán học đơn giản, nhưng chuyển động của nó rất phức tạp và không thể đoán trước, thì đây là một hệ thống hỗn loạn.
Lý do tại sao thời tiết khó dự đoán là do phương trình NS dường như có một giải pháp hỗn loạn, khiến cho việc dự đoán chính xác thời tiết trong hơn hai tuần tiếp theo rất khó khăn. Vào những năm 60 của thế kỉ 20, Edward Lorenz lần đầu tiên chỉ ra hiện tượng này. Lúc đó, ông đang nghiên cứu một phiên bản đơn giản của phương trình NS, hiện nay nó là phương trình Lorenz.
Phương trình Lorenz là một hệ phương trình bao gồm ba phương trình vi phân thông thường. Mặc dù chúng đơn giản hơn nhiều so với phương trình NS, nhưng chúng vẫn có hiệu quả xấp xỉ với NS trong việc đo dòng chảy khí quyển. Vào những năm 1960, Lorenz đã sử dụng một máy tính điện tử vừa xuất hiện để tìm giải pháp gần đúng cho các phương trình này. Nhưng kết quả làm ông ngạc nhiên! Bởi vì ông thu được một giải pháp bất thường và rất không ổn định. Nếu vẽ đồ thị (x, y) của các giải pháp, bạn có thể thấy độ phức tạp của chúng.
*****
Điều đáng nói là theo nhiều cách, phương trình Lorenz rất giống với phương trình SIR hiện đang được sử dụng để dự đoán dịch COVID-19. Trong mô hình này, S đại diện cho dân số dễ bị truyền nhiễm, I đại diện cho dân số bị nhiễm và R đại diện cho dân số bị chết.
Hai mô hình này bao gồm ba phương trình vi phân thông thường phi tuyến tính bậc hai, nhưng các giải pháp của chúng rất khác nhau. Điều quan trọng nhất là mô hình SIR có thể được sử dụng để đưa ra dự đoán dài hạn về dịch bệnh, nhưng phương trình Lorenz dùng để dự báo thời tiết không thể đưa ra được dự đoán dài hạn.
Điều mà các nhà toán học nghiên cứu không phải là liệu chúng ta có thể giải được phương trình NS hay không, mà là chúng ta có giải pháp cho NS hay không. Đến hiện tại, không ai có thể trả lời câu hỏi này. Có thể thấy trước rằng, trong một thời gian dài trong tương lai, sự tồn tại của nghiệm phương trình NS sẽ khó mà giải quyết. Và nếu giải quyết được điều này, đồng nghĩa với việc chúng ta sẽ giải quyết được một trong bảy bài toán của thiên niên kỷ. (Mỗi bài được treo thưởng 1 triệu đô la).
“Sự hấp dẫn lạ lùng”
Có lẽ bạn đã từng nhìn thấy đường cong hình con bướm này, bây giờ nó được gọi là “Sự hấp dẫn lạ lùng”. Đối với kết quả này, Lorenz rất hạnh phúc, vì cuối cùng ông cũng hiểu được tại sao thời tiết quá phức tạp.