Phương trình Ax = λx
Phương trình Ax = λx có liên quan đến giá trị riêng của ma trận. Trong phương trình này, A có thể là ma trận hoặc toán tử vi phân và 2 thành phần λ, x đều không xác định. Có thể nói rằng phương trình có vẻ đơn giản và kỳ lạ này là cốt lõi của tất cả các công nghệ, vật lý, hóa học và công trình hiện đại. Phương trình này thường được sử dụng để tìm độ cộng hưởng của nhiều hệ thống, ví như cầu treo, ô tô, máy bay và sân vận động …
Phương trình giá trị riêng (Trị đặc trưng- Eigenvalue)
(Hình 1)
Chính xác thì phương trình này biểu thị ý nghĩa gì? Giả sử A là ma trận 2 × 2 đơn giản:
(Hình 2)
Vậy x và λ là gì? Sau khi tính toán, chúng ta có thể có được:
(Hình 3)
Nói cách khác, các giá trị có thể có của λ là 3 và 2, hai số này là giá trị riêng của ma trận A và vectơ x tương ứng với giá trị riêng được gọi là vector riêng.
Phương pháp tính toán tìm giá trị riêng và vector riêng của ma trận thực sự không quá phức tạp. Nó chỉ cần thỏa mãn giá trị riêng λ của ma trận A:
(Hình 4)
Ở đây det (A) đại diện cho định thức của ma trận A và I đại diện cho ma trận đơn vị. Ví dụ: nếu A vẫn là ma trận 2 × 2:
(Hình 5)
Như vậy, det(A-λI) = 0 có thể được viết là:
(Hình 6)
Giải phương trình này có thể nhận được giá trị của λ. Thông thường, đối với ma trận n × n, có n cách giải tương ứng với det (A-I) = 0.
Như vậy, tất cả những điều này có liên quan gì đến sự dao động? Nếu thu được λ là số thực, có nghĩa là độ dao động sẽ yếu đi và biến mất, nếu λ là số phức, có nghĩa là hệ thống sẽ sinh ra dao động.
Đối với ma trận n × n, định thức sẽ là đa thức bậc n và rất khó để giải chính xác đa thức bậc n. Do đó, ngay cả việc sử dụng máy tính nhanh nhất để giải phương trình giá trị riêng của ma trận cũng là điều không dễ dàng. Thuật toán tốt nhất hiện nay được gọi là thuật toán QR, nhưng nó cũng có vấn đề là tốc độ giải chậm và khó sử dụng.
Tuy nhiên, rất cần thiết để giải phương trình giá trị riêng của ma trận, qua đó chúng ta không chỉ có thể biết được tần số cộng hưởng của cầu treo mà còn tính được tần số dao động phân tử. Ứng dụng của nó rất khác nhau, lấy phương trình Schrodinger trong cơ học lượng tử làm ví dụ:
Phương trình Schrodinger.
(Hình 7)
Chúng ta biết rằng việc giải phương trình Schrödinger có thể tìm thấy hàm sóng mô tả trạng thái của một hệ cơ học lượng tử, điều này có nghĩa là tìm ra hầu hết mọi thứ chúng ta muốn biết. Nhưng rất khó để giải được nó. Trong một chương trình máy tính, phương trình này có thể biến thành một phương trình giá trị riêng rời rạc. Do đó, theo phương pháp tương tự, phương trình giá trị riêng ma trận trở thành cốt lõi của tất cả các công nghệ kĩ thuật có sử dụng sóng, bao gồm: radio, TV, radar, điện thoại di động, WiFi và âm thanh.