Toán học là một thế giới đầy các phương trình.
Một phương trình có thể cô đọng một lượng lớn thông tin thành một công thức rất đơn giản. Nhiệm vụ của các nhà toán học không chỉ là tìm ra các phương trình này mà còn phải giải quyết chúng để khám phá ra lượng thông tin chứa trong đó. Một câu hỏi được đặt ra là: Toán học là một phát minh hay một khám phá?
Có lẽ, câu trả lời thích hợp nhất là: “Toán học là sự kết hợp của cả hai điều này”. Tạo ra phương trình là một quá trình phát minh, và giải phương trình là một quá trình khám phá.
Nếu bạn muốn nhắc đến một số các phương trình vĩ đại trong toán học, chúng ta có thể kể đến định lý Pythagore, định lý Fermat, phương trình Euler. Ngoài ra cũng có các phương trình có thể mô tả vũ trụ như định luật hấp dẫn, phương trình trường Einstein, phương trình năng lượng khối, v.v. Đối với các phương trình này, có lẽ bạn đã có ít nhiều đã tìm hiểu về chúng.
Do đó, hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về một số phương trình khác. Chúng rất hay và sâu sắc. Chúng có một vai trò cực kỳ quan trọng trong lĩnh vực toán học và cả trong cuộc sống của chúng ta.
Phương trình Ax = b
Ax = b, có lẽ là một trong những phương trình đơn giản nhất trong đại số tuyến tính. Tuy nhiên, một phương trình đơn giản như vậy đã thay đổi thế giới theo nhiều cách khác nhau. Ý nghĩa đằng sau phương trình này có thể không đáng kinh ngạc như phương trình trường Einstein hay phương trình Schrodinger, cũng không khó hiểu như định lý Fermat. Nhưng có thể nói rằng hầu hết mọi thứ trong cuộc sống của chúng ta đều bị Ax = b chi phối.
Trong phương trình Ax = b này, “x” là không xác định, “b” đã biết và A là toán tử đã biết ánh xạ “x” đến “b”. Phương trình này liên kết cái đã biết và cái chưa biết. Phương trình tuyến tính này xuất hiện khi chúng ta cần dự đoán thời tiết, thực hiện quét MRI hoặc CAT, thiết kế máy bay, đào tạo học tập về máy móc, điều khiển các nhà máy hóa chất và thậm chí là trong việc mua sắm. Giải phương trình này cho phép các nhà khoa học khám phá những bí mật mà trước đây vẫn còn là ẩn số.
Thực tế, trong phương trình Ax = b này, toán tử A có thể là nhiều hình thức. Nó có thể là một con số, một ma trận vuông, ma trận vuông dài hoặc thậm chí là một phép toán vi phân … Ví dụ đơn giản nhất của phương trình này là khi tất cả 3 thành phần A, x và b là một con số đơn giản. Khi A ≠ 0, phương trình này có nghiệm duy nhất x = b / A.
Một tình huống phức tạp hơn nhưng lại rất thú vị xảy ra là khi A là ma trận và x, b là vector. Lấy một ví dụ đơn giản, giả sử bạn cần mua “x” quả táo và “y” quả chuối, một quả táo giá là 2 đô và một quả chuối giá là 3 đô. Bạn có số tiền là 17 đô. Đồng thời, từ góc độ bổ sung hàm lượng vitamin C, mỗi quả táo có 4 đơn vị Vitamin C, Mỗi quả chuối có 3 đơn vị Vitamin C. Và tổng lượng vitamin C cần thiết là 25 đơn vị. Vì vậy, câu hỏi đặt ra là, giá trị của “x” và “y” là bao nhiêu?
Theo các ý tưởng thông thường, chúng ta có thể dễ dàng giải quyết vấn đề này bằng cách thiết lập hệ phương trình:
2x + 3y = 17
4x + 3y = 25
Nếu phương trình ma trận Ax = b được sử dụng, bộ phương trình này có thể được viết là: (xem hình 2)
Việc giải quyết ma trận khó hơn một chút so với hệ phương trình đơn giản kia, nó cần xây dựng một ma trận nghịch đảo A⁻¹. (Xem hình 3)
Và cuối cùng là (Xem hình 4)
Trong ví dụ này, chỉ có hai ẩn số “x” và “y”, rất dễ giải quyết được nó. Tuy nhiên, sự khó khăn để giải các phương trình ma trận giống như vậy sẽ tăng lên gấp bội khi ẩn số tăng lên. Khi có N ẩn số xuất hiện trong một ma trận, độ khó của việc giải nó sẽ tăng thêm N³ (N mũ 3).
Phạm vi ứng dụng của Ax = b vượt xa ví dụ mua táo và chuối này, chúng ứng dụng trong công nghệ hình ảnh y tế đến dự báo thời tiết, từ thiết kế máy bay đến xây dựng cầu đường, v.v. Đây là phương trình chủ yếu nhất của bất kỳ vấn đề nào liên quan đến số lượng lớn các ẩn số. Tất cả những gì chúng ta cần làm là tìm ra những ẩn số này từ một tập hợp các dữ kiện đã biết.
Vậy nên, làm sao để giải phương trình Ax = b?
Có hai phương pháp chính. Một là phương pháp sử dụng phép khử Gauss, mục đích là tìm biểu thức ma trận nghịch đảo của ma trận A. Phép khử Gauss là một trong những phương pháp tốt nhất để tìm ma trận nghịch đảo. Nó xuất hiện lần đầu tiên trong kiệt tác toán học Trung Quốc “Cửu chương toán thuật” vào năm 179 sau Công nguyên. Sau đó được Newton đề xuất lại vào năm 1670 và được Gauss hoàn thiện vào năm 1810. Phương pháp phép khử Gauss được sử dụng dưới nhiều cách thức và nó là một trong những phương pháp tốt nhất để xử lý vấn đề về số lượng của ẩn số (trong vòng 100.000 ẩn số).
Tuy nhiên, phương pháp này không phù hợp cho các phương trình với số lượng ẩn số nhiều hơn. Thời gian tính toán của nó tỷ lệ thuận với N³, vì vậy nó rất tốn thời gian. Do đó, đối với những trường hợp như vậy, các phương pháp mới hơn sẽ là lựa chọn tốt hơn, đặc biệt là phương pháp lặp được biểu diễn bằng “Phương pháp gradient liên hợp”.
Phương pháp lặp này trước tiên sẽ đưa ra dự đoán sơ bộ, và sau đó lần lượt cải thiện dự đoán này cho đến khi có được kết quả cuối cùng.
Hình ảnh y tế và các công nghệ khác thường áp dụng phương pháp này. Lợi thế đáng kể của phương pháp này là khi chúng ta cho rằng đây là kết quả tốt nhất, chúng ta có thể dừng quá trình lặp này lại bất cứ lúc nào. Do đó, hiện tại các phương pháp lặp đang được sử dụng rộng rãi.
Ngoài hai phương thức này, còn có phương pháp đa lưới, hiện là phương pháp nhanh nhất và tốt nhất, nhưng nó cũng là phương pháp phức tạp nhất.
